布朗篩法

在數論中，布朗篩法（Brun sieve；或稱布朗純篩法 (Brun's pure sieve)）是一個用以估計滿足特定條件的「篩選過的」正整數集大小的技巧，而這些條件一般都以同餘表示。該篩法由维戈·布朗於1915年發展，並在後來由其他學者推廣為篩法基本引理。

描述
在篩法的術語中，布朗篩法是一種「組合篩法」，也就是一種透過小心應用容斥原理進行「篩選」的篩法。在正式討論布朗篩法前，先定義一些表記：

設為正整數的有限集，而則為質數的集合，然後設是中可為中的質數整除的數組成的集合；此外，可設為中的不同質數的乘積，在這種狀況下，可相應地定義為中可被整除的數的集合，也就是與的質因數相應的集合的交集；而也可相應地定義成本身。

設為任意實數，那麼該篩法的目標就是估計下式：

在上式中，是集合的元素個數。

此外，假若的元素個數可由下式估計的話（下式中，是一個積性函數，而是與之相應的誤差項）：

那就可定義下式：

布朗純篩法
以下內容取自Cojocaru & Murty 的定理6.1.2.，並使用上述的表記。

若以下條件成立：
對於任意由中的質數構成的無平方因子數而言，有
存在常數使得對於任意實數而言，有
對於任意中的質數，有

則有以下的關係式：

其中是的元素個數、是任意正整數，而則是大O符號。

此外，設為的最大元，那在存在足夠小的使得的狀況下，有下列關係式：

應用
 布朗定理：所有孿生質數的倒數和收斂。
 施尼勒爾曼密度：所有的偶數至多個質數之和。的大小可小至6。
 存在有無限多個彼此差為2的整數對，而在該整數對中的兩個數都至多是九個質數的乘積。
 所有的偶數都可表示成兩個至多是九個質數乘積的數之和。

最後兩個定理弱於陳氏定理及弱哥德巴赫猜想。

參考資料





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