多面体群

几何学中，多面体群指柏拉图立体的对称群。

 群 
多面体群共三个：

 12阶四面体群，正四面体的旋转对称群。它与A4同构。
 T的共轭类是：
 恒等
 4 × 旋转 120°，3阶，顺时针
 4 × 旋转 120°，3阶，逆时针
 3 × 旋转 180°，2阶
 24阶八面体群，立方体和正八面体的旋转对称群。它与S4同构。
 O的共轭类是：
 恒等
 6 × 围绕顶点旋转 ±90°，4阶
 8 × 围绕三角形中心旋转 ±120°，3阶
 3 × 围绕顶点旋转 180°，2阶
 6 × 围绕边缘中点旋转 180°，2阶
 60阶二十面体群，正十二面体和正二十面体的旋转对称群。它与A5同构。
 I的共轭类是：
 恒等
 12 × 旋转 ±72°，5阶
 12 × 旋转 ±144°，5阶
 20 × 旋转 ±120°，3阶
 15 × 旋转 180°，2阶

对于全反射群，以上的对称性加倍，分别为24、48、120阶，分别有6、9 和15 个反射镜面。八面体对称群[4,3]可以看作是四面体对称群 [3,3] 的6个反射镜面和二面体群Dih2[2,2] 的3个反射镜面的并集。五角十二面体对称性是四面体对称性的另一种加倍。

完全四面体对称的共轭类Td≅S4是：

 恒等
 8 × 旋转 120°
 3 × 旋转 180°
 6 × 通过两个旋转轴在平面内进行反映
 6 × 旋转-反映 90°

五角十二面体对称性Th的共轭类包括T的共轭类，其中两个4阶类组合在一起，并且每个类都具有反演：

 恒等
 8 × 旋转 120°
 3 × 旋转 180°
 反演
 8 × 旋转-反映 60°
 3 × 平面反映

全八面体群Oh ≅ S4 × C2的共轭类是：

 反演
 6 × 旋转-反映 90°
 8 × 旋转-反映 60°
 垂直于 4 次轴的平面中的 3 × 反射
 垂直于 2 次轴的平面中的 6 × 反射

完全二十面体对称 Ih ≅ A5 × C2的共轭类 ，还包括每个具有反演的：

 反演
 12 × 旋转-反映 108°， 10阶
 12 × 旋转-反映 36°，10阶
 20 × 旋转-反映 60°，6阶
 15 × 旋转-反映，2 阶

 手性多面体群 
+手性多面体基团名称/熊夫利斯（Schönflies）记号（轨型符号 )考克斯特符号阶抽象结构旋转轴#度图表正交立体T(332)[3,3]+ 12 A4 4312x12px12x12px3215x15px120x120px120x120px120x120px120x120pxTh(3*2) [4,3+] 24 A4 ×2 4312x12px3*2120x120px120x120px120x120px120x120px O (432) [4,3]+ 24 S4 3412x12px4312x12px6215x15px120x120px120x120px120x120px120x120pxI(532) [5,3]+ 60 A5 6512x12px10312x12px15215x15px120x120px120x120px120x120px120x120px

 全多面体群 
+全多面体群熊夫利斯（Schönflies）记号（轨型符号轨型符号)考克斯特符号阶抽象结构考克斯特数字（H）镜面(h)镜像图正交立体A3Td(*332)[3,3] 24 S4 4 6 120x120px120x120px120x120px120x120pxB3Oh(*432) [4,3] 48S4 ×2 8 3 6 120x120px120x120px120x120px120x120px H3Ih(*532) [5,3] 120 5 ×2 10 15 120x120px120x120px120x120px120x120px

 参见 

 威霍夫符号
 球对称群列表

 参考文献 

 Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (The Polyhedral Groups. §3.5, pp. 46–47)

 外部链接 


Category:多面體