谱相关密度

谱相关密度 (spectral correlation density , SCD)，有时也称为循环谱密度(cyclic spectral density)或频谱相关函数(spectral correlation function)，是描述时间序列的所有频移版本对的交叉频谱密度的函数。谱相关密度仅适用于周期平稳过程，或称为循环平稳过程，普通平稳过程不具备谱相关性。 谱相关被广泛用于信号检测和信号分类。  谱相关密度与每个双线性时频分布密切相关，但不被认为是 Cohen 类分布。

 定义 
时间序列的循环自相关函数计算如下：其中 (*) 表示复数的共轭。根据Wiener-Khinchin 定理[有疑问，需讨论]，谱相关密度为：

 估计方法 

对数字信号而言，SCD 可按任意频率和时间分辨率进行估计。由于直接计算SCD具有较高的计算复杂性，为满足信号实时分析的需求，有几类较为有效的信号谱相关估计方法被提出。

目前常用的算法是 FFT 累加法 (FFT Accumulation Method, FAM) 和带状谱相关法 (Strip-Spectral Correlation Algorithm)， 近日，又有一种新的快速频谱相关 (fast-spectral-correlation, FSC) 算法被提出 。

 FFT累加法（FAM） 
在本节中，我们将介绍实际在计算机上估计SCD的方法。如使用MATLAB或Python中的NumPy库，以下步骤的实现将相当简单。

FFT累加法 (FAM) 是一种计算 SCD 的数字方法。它的输入是一组 IQ 样本矩阵，输出是复值图像（或者说是一复值矩阵），即目标 SCD。FAM输入的信号、或说是 IQ 样本矩阵 ，应为复值张量的形式，或者是尺寸为的多维数组的形式 ，其中数组中的每个元素都是一个 IQ 样本点。

FAM的第一步，是将所输入信号分为多个相互重叠且长度为的数据帧，并将其组合成矩阵形式，记为。

其中，两数据帧间起始位置相距的长度。为实现重叠，应有 。是形状为 的张量， 取决于能够容纳多少帧 。

随后，将一形状为的窗函数 ，应用于的每一行 （如汉明窗等），得到。

其中是逐元素乘法，也就是将矩阵中的每个元素分别与对应位置的窗函数相乘。接下来，要对中的每一行进行 FFT ，得到。

就是通常称为瀑布图或频谱图的矩阵。 FAM 的下一步是校正FFT后数据帧的相位延迟。

其中对应于 FFT 结果中的每个数字频率，是形状为张量。

随后，通过求经 FFT 后结果的自相关，得到形状为张量 。

其中表示复共轭。换言之，若记是 的矩阵，可改写为

其中 H 表示矩阵的Hermitian （共轭转置）矩阵。接下来的一步，是将  沿着第一维分别进行 FFT。

是一个包含完整 SCD 信息的三维张量，但我们的目标是构建形状为的二维张量，即矩阵或着图像的形式，张量的两个维度分别对应特定频率和循环频率。中所有的值可以通过张量的到，而所有的频率值则记录在张量中。这里的 和是归一化频率。

上式中， 。至此，SCD 可以退化为一个二位的图像或矩阵，中的对都可以赋为0，有效值可以通过和获取 。

 跳过第二次 FFT 直接估计 SCD 
完整计算一次 SCD 具有相当大的复杂度，复杂度的主要来源是第二轮 FFT。幸运的是，从估计 SCD 的计算公式为

为了更小的计算复杂度，我们可以通过下式，直接从计算，因为在 FFT 前或后计算FFT中所有数值的均值是等效的。

需要注意的是，将看起来像真正 SCD 的  旋转45 度的版本 。

 参考文献 

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