分数小波变换

分数小波变换（Fractional wavelet transform，缩写：FRWT）是传统小波变换（Wavelet transform）的推广。该变换的提出改进了了小波变换和分数傅里叶变换的局限性。分数小波变换继承了传统小波变换的多分辨率特性，同时，类似于分数傅里叶变换，可以表示分数阶域的信号特征。

 定义 
分数傅里叶变换（FRFT）H. M. Ozaktas, Z. Zalevsky, and M. A. Kutay, The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing. Wiley, New York, 2000.是傅里叶变换（FT）的推广，它在光学、通信、信号和图像处理方面是一个强有力的分析工具。E. Sejdic, I. Djurovic, and L. Stankovic, "Fractional Fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent developments," Signal Process., vol. 91, pp. 1351--1369, 2011.然而，由于分数傅里叶变换使用全局核函数，它只强调了存在某些成分，而没有说明这些成分的时间定位。因此，对非平稳信号进行FRFT频谱分析时需要在时间-FRFT域进行联合分析。

对FRFT的通过引入时窗进行修改可以得到短时分数傅里叶变换（STFRFT）。L. Stankovic, T. Alieva, and M. J. Bastiaans, "Time-frequency signal analysis based on the windowed fractional Fourier transform,"Signal Process., vol. 83, pp. 2459--2468, 2003.R. Tao, Y. Lei, and Y. Wang, "Short-time fractional Fourier transform and its applications," IEEE Trans. Signal Process., vol. 58, pp. 2568--2580, 2010.STFRFT的思想是使用具有时间局域性的窗函数将信号分段，然后对每一段进行FRFT频谱分析。STFRFT可以在时间-FRFT域进行联合分析，然而，由于窗函数的长度是预先固定的，STFRFT并不能在时间域和FRFT域均提供良好的分辨率。换而言之，STFRFT的分辨率受到不确定性原理的约束J. Shi, X.-P. Liu, and N.-T. Zhang, "On uncertainty principle for signal concentrations with fractional Fourier transform," Signal Process., vol. 92, pp. 2830--2836, 2012.，即窄窗具有较好的时间分辨率和较差的FRFT谱分辨率；宽窗具有较好的FRFT谱分辨率和较差的时间分辨率。然而实际信号一般高频成分持续时间较短，在分析时要求更高的时间分辨率；而低频成分持续时间较长，在分析时要求更高的频率分辨率。

而小波变换在不同频率分量处具有不同的时频分辨率。基于此，Mendlovic和David对小波变换进行了推广，提出了分数小波变换（FRWT）。D. Mendlovic, Z. Zalevsky, D. Mas, J. Garcia, and C. Ferreira, "Fractional wavelet transform," Appl. Opt., vol. 36, pp. 4801--4806, 1997.

FRWT被定义为FRFT和小波变换（WT）的级联，即：

其中，变换的核函数为：

其中，表示的FRFT。然而，由于时间信号在变换中丢失，这并不是时间-FRFT联合分布。

此外，Prasad和Mahato将信号和母小波的FRFT来表达信号的WT，并称这种表达为FRWT。A. Prasad and A. Mahato, "The fractional wavelet transform on spaces of type S," Integral Transform Spec. Funct., vol. 23, no. 4, pp. 237--249, 2012.即：

其中和表示和的傅里叶变换（参数缩放了倍）。显然，这种所谓的FRWT与普通WT是相同的。

最近， Shi等人通过引入与FRFT有关的分数卷积提出了新的关于FRWT的定义。任意平方可积函数的FRFT定义为：

其中是对母小波的Chirp调制和连续仿射变换，即：

其中，是尺度参数；是位移参数。对应的逆FRWT变换为：

其中是与选用的小波相关的常数，该常数决定了重建能否进行，即容许性条件（Admissibility condition）：

其中表示的傅里叶变换。容许性条件表明，即。因此，连续分数小波必须表现出震荡的性质，并在分数傅里叶域中体现出带通滤波器的特性。从这点来看，的FRWT变换可以用FRFT域来表示，即：

其中表示对的FRFT，表示的傅里叶变换（参数缩放了倍）。当时，FRWT退化为传统的小波变换。文献对此类FRWT进行了深入的讨论。

 分数小波变换的多分辨分析（MRA） 
该文概述了分数小波变换及其多分辨分析。

 参考文献 

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