貝爾性質

若一個拓樸空間的子集合有貝爾性質，或是一個幾乎開集，就表示這集合與開集之間的差為一個；換句話說，若存在一個開集合使得為貧乏集（此處的為對稱差），那麼就說有貝爾性質。.

定義

若一個拓樸空間的子集合是一個有貝爾性質的幾乎開集，那就表示存在一個使得為貧乏集，此處的為對稱差；此外若有限制意義下的貝爾性質的話，就表示說對於任意的子集合而言，跟的交集相對於有貝爾性質。.

性質
有貝爾性質的集合構成集族為一個σ-代数，也就是說，幾乎開集的補集也是幾乎開集，且任何可數多個幾乎開集的聯集或交集也是幾乎開集；此外，由於空集合本身是貧乏集，因此所有的開集都是幾乎開集之故，因此所有的博雷爾集都是幾乎開集。

若一個的子集合有貝爾性質，那麼與其對應的是。此命題的逆命題一般不成立，然而若一個中的所有遊戲都是決定的，那中的每個集合都有貝爾性質，也就是說根據由足夠大的基數推導而出的，波蘭空間中所有的都有貝爾性質。.

利用選擇公理，可知一些實數的子集不具貝爾性質，一個沒有貝爾性質的實數子集的具體的例子是維塔利集合。, p. 22.實際上選擇公理就已足以證明這點：根據布尔素理想定理，自然數集合上存在有一個非主理想超濾子，而每一個有如此性質的超濾子，都可在以二進制表示實數的狀況下，用以導出一個沒有貝爾性質的實數集。，可見第64頁的說明。

參見





參考資料

外部連結

 Springer Encyclopaedia of Mathematics article on Baire property 

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