費馬-卡塔蘭猜想

在數論上，費馬－卡塔蘭猜想是費馬大定理與卡塔蘭猜想的推廣，而這猜想認為，以下的等式

僅有有限多個彼此互質，且滿足下列條件的解：

這個給出條件的不等式是猜想的必要成分，而這是因為沒有這不等式的話，這結果就會有無限多的解，像例如在的狀況下，顯然有無限多的解；而在的狀況下該等式就是畢達哥拉斯定理，而目前已知有無限多個畢氏三元數存在。

已知解
截至2015年為止，等式(1)已知有十個滿足不等式(2)的解，而這些解如下：. 

 （在的狀況下這滿足不等式(2)）

根據在於2002年證明的卡塔蘭猜想，這些等式中的第一個，也就是，是唯一滿足其中一個是1的解。盡管因為可以是大於6的任意數之故，因此等同於有無限多解，這些解只對這三元數給出一組解。

部分結果
根據利用了法爾廷斯定理的達爾蒙－關維定理（Darmon–Granville theorem），對於任意特定不等式(2)的三元數組，等式(1)僅有有限解；然而完整的費馬－卡塔蘭猜想強於此，而這是因為完整的猜想允許這三個指數項是任意數之故。

abc猜想可導出費馬－卡塔蘭猜想。

亦可見一文的內容以得知已證實不可能的指數組合；而比爾猜想為真，當且僅當所有費馬－卡塔蘭猜想的解都有、或。

參見
冪和

參考資料

外部連結

 Perfect Powers: Pillai's works and their developments. Waldschmidt,  M.  

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