雙射記數

雙射記數系統（Bijective numeration）是一種表示數字的位置數值系統，每個非負整數都可使用有限數字串表示。該名稱「雙射」指的是非負整數集和用有限符號集的有限字符串集間存在雙射（即一一對應）。

大多數數字系統，例如十進制，都不是雙射的；因為不止一串數字可以表示同一個正整數：添加不會改變表示的值，例如「1」、「01」、「001」都表示數字「1」。而一進制因為只有一個數字「1」所以必然「是」雙射的。

雙射進制-k記數系統是一個雙射進位制。使用集合{1, 2, ..., k}（其中k≥1）編碼正整數；值的位置定義為「k」的冪倍數。稱此為k-adic：用有限非零數字串表示普通整數的系統，而p-adic數是包含整數作為子集的一個數學值系統，並且可能需要無限數字序列表示。

 定義 
雙射進位制使用集合{1, 2, ..., k}（其中k≥ 1）來唯一編碼每個非負整數：
 零由空字符串表示。
 由非空數字串表示的整數

 = .
 表示整數的數字串m>0是
當

且

是不小於的最小整數x（上取整函数）
相反，標準進位制可用類似遞歸算法定義當

 擴展到整數 

在進制, the bijective base- numeration system could be extended to negative integers in the same way as the standard base- numeral system by use of an infinite number of the digit , where , represented as a left-infinite sequence of digits . This is because the Euler summation

meaning that

and for every positive number  with bijective numeration digit representation  is represented by . For base , negative numbers  are represented by  with , while for base , negative numbers  are represented by . This is similar to how in signed-digit representations, all integers  with digit representations  are represented as  where . This representation is no longer bijective, as the entire set of left-infinite sequences of digits is used to represent the -adic integers, of which the integers are only a subset.

 性質 
對於進制：
 表示非負整數n的雙射k進位位數是，與相比，k進制如果是「1」，位數就是n。
 最小可表示為長度的雙射k進制數字的非負整數是。
 最大可表示為長度的雙射k進制數字的非負整數是，相當於或。
 非負整數n的雙射k進制可和普通進制k相同，當且僅當普通進制不含數字「0」，或者等效地，雙射進制既不是空字符串也不包含數字k。

對於進制，
 會有個雙射進制，長度為的k。
 雙射進制k的列表.。用λ表示空串，1、2、3、8、10、12、16為底的數如下（這裡列出普通的表示方式以供比較）：
   λ   1   11   111   1111   11111   111111   1111111   11111111   111111111   1111111111   11111111111   111111111111   1111111111111   11111111111111   111111111111111   1111111111111111   ...  雙射二進制  λ   1   2   11   12   21   22   111   112   121   122   211   212   221   222   1111   1112   ...    0   1   10   11   100   101   110   111   1000   1001   1010   1011   1100   1101   1110   1111   10000   ...    λ   1   2   3   11   12   13   21   22   23   31   32   33   111   112   113   121   ...    0   1   2   10   11   12   20   21   22   100   101   102   110   111   112   120   121   ...    λ   1   2   3   4   5   6   7   8   11   12   13   14   15   16   17   18   ...    0   1   2   3   4   5   6   7   10   11   12   13   14   15   16   17   20   ...    λ   1   2   3   4   5   6   7   8   9   A   11   12   13   14   15   16   ...    0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   ...    λ   1   2   3   4   5   6   7   8   9   A   B   C   11   12   13   14   ...    0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   A   B   10   11   12   13   14   ...    λ   1   2   3   4   5   6   7   8   9   A   B   C   D   E   F   G   ...    0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   A   B   C   D   E   F   10   ... 

 例 
 雙射五進制的34152 = 3×54 + 4×53 + 1×52 + 5×51 + 2×1 = 2427（十進制）
 雙射十進制119A（A代表數值10） = 1×103 + 1×102 + 9×101 + 10×1 = 1200（十進制）
 雙射11進制B = 11（十進制）
 雙射35進制Z = 35（十進制）
 雙射十進制 
雙射十進制系统是一种以 10 为底的位置数字系统，不使用数字来表示零，而用一个数字代表十，例如 A。

与传统的十进制一样，每个数字位置代表十的幂，因此例如 123 是“一百，加上两个十，加上三个一”。 所有在传统十进制中仅用非零数字表示的正整数（例如 123）在不带零的十进制中具有相同的表示形式。 使用零的必须重写，例如10变为A，常规20变为1A，常规100变为9A，常规101变为A1，常规302变为2A2，常规1000变为99A，常规1110变为AAA，常规2010变为19AA ， 等等。

不带零的十进制的加法和乘法本质上与传统十进制相同，只是当位置超过十时而不是超过九时发生进位。 因此，要计算 643 + 759，有十二个个位（在右边写 2，十位进位 1）、十个十（记为 A，不需要进位到百位）、十三个百（在右边写 3，进位 1）、和一个千（写 1），得到结果 13A2 而不是传统的 1402。

 雙射二十六進制 
在双射二十六进制系统中，可以使用拉丁字母A到Z来表示1到26。（A=1，B=2，C=3，...，Z=26）

通过选择这种表示法，数字序列（从 1 开始）开始为 A、B、C、...、X、Y、Z、AA、AB、AC、...、AX、AY、AZ、BA、BB、BC，...

每个数字位置代表二十六的幂，例如数字 ABC 代表十进制的 1 × 262 + 2 × 261 + 3 × 260 = 731。

许多电子表格（包括 Microsoft Excel）使用此系统为电子表格的列分配标签，如 A、B、C、...、Z、AA、AB、...、AZ、BA、...、ZZ、AAA 。在 Excel 2013 中，最多可以有 16384（214） 列，从 A 到 XFD。. 该系统的一个变体用于命名变星。. 它可以应用于任何需要使用字母进行系统命名的问题，同时使字符串尽可能短。

所有英语单词（不区分大小写）都可以通过上述方法转换成十进制自然数。

 歷史 
每个非负整数在双射 k (k ≥ 1) 进制中都有唯一的表示，这一事实是一个已被多次重新发现的“民间定理”。 早期的例子是  （对于 k = 10），以及  和  （对于所有 k ≥ 1）。Smullyan 使用该系统提供逻辑系统中符号串的哥德尔编号； Böhm 使用这些表示以编程语言 P′′ 执行计算。 提到了 k = 10 的特殊情况， 讨论了 k ≥ 2 的情况。 似乎是另一个重新发现，并提出假设说如果古代计数系统使用双射 k 进制，可能由于人们普遍不熟悉这一系统，导致考古文献中并未发现这一点。

 注釋 

 參考 
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 . (Discusses bijective base-10.)
 . (Discusses bijective base-k for all k ≥ 2.)
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Category:非標准進制系統