莫德尔猜想

莫德爾猜想（Mordell conjecture），又稱法爾廷斯定理（Faltings's theorem），是一個由提出的算術幾何猜想，這猜想認為，任何有理數域上虧格數大於一的曲線至多只有有限多個有理點。這猜想於1983年為格尔德·法尔廷斯所證明，並從此改名為法爾廷斯定理，而之後這猜想被推廣至任何代數數域上。

背景
設C為一個的、位於有理數域上且虧格數為g的代數曲線，則C上的有理點可由下列關係決定：

 當g = 0時，C要不沒有有理點，要不有無限多的有理點，此情況下C可視為圓錐曲線。
 當g = 1時，C沒有有理點，或者為一個有理點構成有限生成阿貝爾群的橢圓曲線（此即莫德爾定理，之後被推廣為）；此外，對相關的撓子群的結構做出限制。
 當g > 1時，根據現在又稱法爾廷斯定理的莫德爾猜想，C只有有限多的有理點。

證明
曾猜想說在一個固定的數域上有著固定的維度與極化度（polarization degree）、且在固定的位構成的有限集合之外有著良好簡化（Good reduction）的之上，只有有限個同構類，而這即是沙法列维奇的有限猜想。使用現在稱為帕辛技巧的方法，指出說沙法列维奇的有限猜想可推出莫德爾猜想。 

格尔德·法尔廷斯利用了一個情況已知的簡化，以及包括等源自代數幾何的工具，證明了沙法列维奇的有限猜想。而這證明的主要想法，是利用來比較中的法爾廷斯高度及古典高度。

後來的證明
 給出一個基於丟番圖逼近的證明；之後恩里科·邦別里找到了波伊大的證明中一個更加初等的版本。
 布萊恩·勞倫斯（Brian Lawrence）及阿克沙伊·文卡泰什給出一個基於的證明，而這證明借鑿了法爾廷斯原始證明中一些較簡單的成分。

可得結果
法爾廷斯在1983年的論文可推出一系列先前受猜想的內容：

 莫德爾猜想，也就是在代數數域上虧格數大於1的曲線只有有限多個有理點；
 同類定理（Isogeny theorem），也就是帶有同構（也就是帶有伽羅瓦作用的Qℓ－模）的是的。

法爾廷斯定裡的一個應用是費馬最後定理的弱形式：對於任意大於等於4的固定整數n，an + bn = cn至多只有有限的原始整數解（也就是彼此互質的解），而這是因為對於這樣的n而言，費馬曲線 xn + yn = 1的虧格數大於1之故。

推廣
由於之故，因此法爾廷斯定理可重述為一個關於帶有交換簇A的有限生成子群Γ的曲線C的交點的敘述，因此可透過將其中交換簇A改成半交換簇（semiabelian variety）、將C改成A的任意子簇，以及將Γ改成A的任意有限秩子集的作法，將之推廣為，而這猜想由在洛朗（Laurent）、雷诺、辛追（Hindry）、以及法爾廷斯等人成就的基礎上，於1995年所證明。

法爾廷斯定理的另一個高維推廣是，也就是若X是一個在數域k上的（也就是「一般類型」的代數簇），那麼X(k)在扎里斯基拓扑的意義上並非稠密的。並提出了更加一般化的猜想。

函數域上的莫德爾猜想由尤里·马宁以及所證明，在1990年，罗伯特·F·科尔曼找到並修補了马宁證明中的一個漏洞。

註解

引用

參考資料

 → Contains an English translation of 

 → Gives Vojta's proof of Faltings's Theorem.

 (Translation:  )

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