四維多胞體

在四維幾何學中，四維多胞體又稱4-多胞形是一種位於四維空間中的多胞形，
其為由多個多面體作為維面所構成的封閉幾何結構。
這些多胞體的組成元素可分為頂點、邊、面（多邊形）、胞（多面體）。
每個面都與兩個胞相鄰。
四維多胞體最早由瑞士數學家路德维希·施莱夫利在1853之前發現。

四維多胞體在二維空間的類比是多邊形、在三維空間的類比是多面體。

從拓樸學的觀點來看，四維多胞體與三維堆砌體密切相關，如立方體堆砌，其為三維空間的空間填充；類似地，三維立方體也與二維的正方形鑲嵌有關。
凸四維多胞體可以切割並展開維三維空間的展開圖。

 定義 
四維多胞體是一個封閉的四維幾何結構。其由頂點（角點）、邊、面和胞組成。胞是面的三維類比，也就是多面體。每個面必須正好連接兩個胞，類似於多面體的每條邊必須正好連接兩個面。另外，也像多面體不能被分為2個或多個同樣是多面體的子部件一樣，四維多胞體不能被分為2個或多個同樣屬於四維多胞體的集合的子部件，也就是說，其不能為複合體。

 幾何 
四维凸正多胞体是三維柏拉圖立體在四維空間的類比。最常見的就是超立方體，立方體的四維類比。

四维凸正多胞体可以在相同半徑的條件下，依其大小（超體積）排序。序列中每一個幾何結構都比前一個更圓、更接近超球體，在相同的半徑範圍內包圍著更大的空間 。正五胞體是最小的情況，而正一百二十胞體是最大的情況。其結構複雜度（透過比較或簡單的頂點數量來衡量）也依照這個順序排列。
四維凸正多胞體 對稱群A4名稱正五胞體
超四面體正十六胞體
超八面體四維超正方體
超立方體正二十四胞體正六百胞體
超二十面體正一百二十胞體
超十二面體施萊夫利符號{3, 3, 3}{3, 3, 4}{4, 3, 3}{3, 4, 3}{3, 3, 5}{5, 3, 3}鏡像二面角                              圖120px120px120px120px120px120px頂點5個正四面體狀8個正八面體狀16個正四面體狀24個立方體狀120個正二十面體狀600個正四面體狀邊10個正三角形分布24個正方形分布32個正三角形分布96個正三角形分布720個正五邊形分布1200個正三角形分布面10個正三角形32個正三角形24個正方形96個正三角形1200個正三角形720個正五邊形胞5個正四面體16個正四面體8個立方體24個正八面體600個正四面體120個正十二面體Tori1個5-四面體2個8-四面體2個4-立方體4個6-八面體20個30-四面體12個10-十二面體大多邊形2  3個正方形4  3個矩形4  4個正六邊形12  6個十邊形50  4個十二邊形皮特里多邊形1個五邊形1個八邊形2個八邊形2個十二邊形4個三十邊形20個三十邊形長半徑邊長短半徑面積體積（超表面積）超體積

 拓樸特徵 
150px|thumb|四維超正方體的
四維多胞體的拓樸特徵由貝蒂數和扭轉係數定義。Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.

用於描述多面體的歐拉特徵數並不能有效地推廣到更高的維度，對於所有四維多胞體而言，無論其有合拓樸結構，歐拉特徵數的值都是零。由於歐拉特徵數無法有效地區分高維空間中不同的拓樸結構，因此導致了更複雜的貝蒂數的發現。

同樣地，多面體的定向性也不足以描述四維多胞體表面的扭曲情況，因此需要使用扭轉係數來描述。

 分類 
 標準 
四維多胞體可以依照其特性進行分類，例如凹凸性和對稱性。
凸的四維多胞體代表其邊界（包含胞、面和邊）不會自我相交，且任兩點連線皆位於整個幾何結構內部或正好落在其邊界上，若無法滿足上述條件則這個四維多胞體就是非凸的。自我相交的四維多胞體又被稱為四維星形多胞體，其可以視為星形多邊形和星形多面體在四維空間的類比。
正的四維多胞體代表其標記可以在其對稱性上傳遞，這意味著該四維多胞體所有胞全等、所有面全等、所有邊等長所有頂點圖全等，其可以視正多面體的類比。
半正的四維多胞體代表其具有一個所有頂點皆等價的對稱性（點可遞），且其胞都是正多面體。半正四維多胞體可以有不只一種的胞，但前提是其皆要由同一種面來構成。在1900年只發現了三種半正四維多胞體，分別為截半正五胞体、和。
均勻的四維多胞體代表其具有一個所有頂點皆等價的對稱性，且其胞都是均勻多面體，其面也要是正多邊形。
三維空間的堆砌體是將三維歐幾里得空間劃分為以多面體為胞的重複性網格。這樣的空間填充是無限的，且並不具有四維超體積，是四維無限胞體的例子。均勻三維堆砌體是指頂點圖全等並與某個空间群相關聯，且其胞為均勻多面體。
 類別 
下面列出了依上述標準分類的四維多胞體：
150px|thumb|截角正一百二十胞体是47個非柱狀之一

四維凸均勻多胞體（64個加2個無限集合）
47個非柱狀，當中包括：
6個四維凸正多胞體
柱狀四維均勻多胞體
 {} × {p,q}：18個 （包括四維超正方體）
 基於反稜柱的柱體（無限集合）
 {p} × {q}：四維柱體柱（無限集合）
四維非凸均勻多胞體（10個已知其餘數量未知）
 10個（正）
 57 個基於星形均勻多面體的四維柱。
 未知總數的四維非凸均勻多胞體：和其他合作者已經確定有2189個已知的四維非凸均勻多胞體（凸和星形，不含無限集合）皆由透過頂點圖構造。Uniform Polychora , Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005
其他凸四維多胞體
多面體錐
多面體雙錐
多面體柱
基於歐幾里得三維堆砌體的四維均勻無限胞體
28個凸均勻堆砌：凸均勻多面體的空間填充，也包括：
1個正空間填充，立方體堆砌：{4,3,4}
基於雙曲空間三維堆砌體的四維均勻無限胞體
76個威佐夫雙曲空間填充，也包括：
4個正緊湊雙曲空間填充：{3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
均勻四維多胞體對偶
 41個不相同的凸四維多胞體對偶
 17個不相同的均勻多面體柱對偶
 無限集合的四維柱體柱對偶（不規則四面體胞）
 27個不相同的均勻堆砌對偶，包括：


其他
韋爾—費倫結構

四維正十一胞體
四維正五十七胞體

 參見 
四維凸正多胞體

 參考文獻 

Category:四維幾何
Category:代数拓扑