LogSumExp

LogSumExp（LSE，也称RealSoftMax或多变量softplus）函数是一个平滑最大值——一个对极值函数的光滑近似，主要用在机器学习算法中。 其定义为参数的指数的和的对数：

 性质
LogSumExp函数的定义域为（），共域是（实数线）。
它是对极值函数的近似，同时有如下的界限：

第一个不等式在以外的情况是严格成立的，第二个不等式仅在所有元素相等时取等号。
（证明：令，则。将不等式取对数即可。）

另外，我们可以将不等式缩放到更紧的界限。考虑函数。然后，

（证明：将上式用的替换，得到

由于，

最后，同除得到结果。）

此外，如果我们乘上一个负数，可以得到一个与有关的不等式：

LogSumExp函数是凸函数，因此在定义域上严格递增。 （但并非处处都是严格凸的。）

令，偏导数为：

表明LogSumExp的梯度是softmax函数。

LogSumExp的凸共轭是。

对数域中的log-sum-exp计算技巧
当通常的算术计算在对数尺度上进行时，经常会遇到LSE函数，例如对数概率。

类似于线性尺度中的乘法运算变成对数尺度中的简单加法，线性尺度中的加法运算变成对数尺度中的LSE：

使用对数域计算的一个常见目的是在使用有限精度浮点数直接表示（在线性域中）非常小或非常大的数字时提高精度并避免溢出问题.

不幸的是，在一些情况下直接使用 LSE 依然会导致上溢/下溢问题，必须改用以下等效公式（尤其是当上述“最大”近似值的准确性不够时）。 因此，IT++等很多数学库都提供了LSE的默认例程，并在内部使用了这个公式。

其中

 一个严格凸的log-sum-exp型函数 

LSE是凸的，但不是严格凸的。我们可以通过增加一项为零的额外参数来定义一个严格凸的log-sum-exp型函数：



This function is a proper Bregman generator (strictly convex and differentiable). 
It is encountered in machine learning, for example, as the cumulant of the multinomial/binomial family.

在中，这是的和。

 参见 
 對數平均
 Log semiring
 平滑最大值
 Softmax函数

 参考资料



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