复底数进制

複底数进制是指底數為虛數或複數的进位制系統。
其中，底數為虛數的进位制系統最早由高德纳於1955年提出；底數為複數的进位制系統於1964年由所羅門·I·赫梅利尼克（Solomon I. Khmelnik）和1965年由沃爾特·F·彭尼（Walter F. Penney）提出W. Penney, A "binary" system for complex numbers, JACM 12 (1965) 247-248.。

 概述 
令為整环和為（阿基米德）绝对赋值。

數在进位制系統中可以表示為：

其中
 {| class="table left"
|-
|  || || 為底數，並滿足，
|-
|  || || 是指數，代表各個位數，
|-
|  || || 是进制中每個位數，來自有限的位數數碼集合，通常滿足
|}
其势稱為分解程度（level of decomposition）

进位制系統或編碼系統是一對二元組：

包括了其底數和位數數碼集合。通常會將有個位數數碼的位數數碼集合表示為：

理想的进位制系統或編碼系統具有以下特性：
任何在环內的數如整數、高斯整數或环的整數可以表達為為唯一的編碼，並可能帶有正負號±。
任何在分式環內的數，或者再取完備化（度量的意義下）所得的或內的數，皆可以表示為在下，於收斂的無窮級數，且不只一種表示方式之數的集合测度為0。後者要求集合最小，即對於實數、對於複數。

 實數 
在這種表示法中，一般常見的標準十进制表示為：

標準二进制系統表示為：

負二进制系統表示為：

平衡三進位系統表示為：

上述這幾個进位制系統在和中都具有上述的特性。後兩個不需要使用正負號。

 複數 
較廣為人知的複底数进位制系統包括下列幾個进位制系統（其中表示虛數單位）：
 ，例如 （进制）和
，即2i进制，由高德纳於1995年提出。
 和
（參見下方进制一節）
 ，其中、 且是一個正整數，在給定的可以取多個值。 比如且是指
进位制系統。（进制）
 。
 ，其中，集合由複數組成，且數，例如
。

 ，其中 

 二元系統 
複數的二元系統是僅使用兩個數碼——0和1的进位制系統，即位數數碼集合為的进位制系統，這類記數系統具有較實際的用途。
下表列出了一些的进位制系統（皆為上述进位制系統的特例），並用其表達。
同時也列出標準的二进制（下表的第一列）和「負二进制」（下表的第二列）供比較。這兩個进位制無法真正地表達出虛數單位。
+ 部分的进位制系統和一些數的表達 底數 –1 ← 2 ← –2 ← ← 多種表示形式的數 2         1 ←  0.1 = 1.0 –2           ←  0.01 = 1.10        ...無限不循環小數    ←  0.0011 = 11.1100   111  1010  110  11.110001100...   ←  1.011 = 11.101 = 11100.110   101  10100  100  10   +  ←  0.0011 = 11.1100 –1+           +  ←  0.010 = 11.001 = 1110.100 2           +  ←  0.0033 = 1.3003 = 10.0330 = 11.3300
與所有具有阿基米德绝对赋值的进位制系統一樣，有些數字具有多種表示形式。此類數字的範例顯示在表格的右欄中。這些數都是循環小數，其循環節以上標水平線標記。

 进制轉換 
若要將一高斯整數轉換為一個以高斯整數為底數的进位制可以將數分成一個可被底數整除的高斯整數和一個位於位數數碼集合內的數，並將可被底數整除的高斯整數部分除以底數當作商，位於位數數碼集合內的數當作餘數，並用商數繼續計算，並重複以上步驟，直到商為零，一系列的餘數部分即為轉換完成的結果。

其中，、、……為高斯整數，、、……為位於位數數碼集合內的數，

則。

以5+12i轉換成-2+i进制（）為例：
{| class="table left"
|-
|align=right|  ||  ||align=right| 
|-
|align=right|  ||  ||align=right| 
|-
|align=right|  ||  ||align=right| 
|-
|align=right|  ||  ||align=right| 
|}
故5+12i(10)轉換成-2+i进制為。

 进制 
較常被討論的複底数进制是2i进制和进制（进制和进制），因為其皆可不使用正負號有限地表達所有高斯整數。

进制以0和1为基本數碼，其於1964年由所羅門·I·赫梅利尼克（Solomon I. Khmelnik）和1965年由沃爾特·F·彭尼（Walter F. Penney）提出。

+ 進制與相關進制比較十進制二進制2i進制進制進制 0         1         2         −1         −2                                                                                                  

 與twindragon關聯 
整數的捨入區域——即在這系統表達之下，共用整數部分的複數（非整數）集合——在複平面中具有分形：twindragon。根據定義，集合的所有點可以計為，其中。可以分解成16塊。注意到，若逆時針旋轉135°，則會得到兩個與相等的相鄰集合，因為。中心的矩形 R 在以下點逆時針地與坐標軸相交：、、和。因此，S 包含所有絕對值≤ 的複數。

由此，複矩形

透過单射

映入實數區間，其中不能取底數，因為且。 然而，不等於。。

此外，還有兩個映射

和

兩者皆满射，也就是產生了一個滿射（空間填充）的映射

然而，其並不連續，因此不是空間填充曲線。但是一個類似的曲線——戴維斯-高德納龍（Davis-Knuth dragon），是連續的空間填充曲線。

 註釋 

 參考文獻 

Category:非标准进制系统
Category:分形
Category:複數
Category:環論