馬丁公理

在數學的集合論中，馬丁公理（Martin's axiom）是一個由和引進的公理，這公理獨立於慣常的、帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）。這公理在連續統假設成立的狀況下成立，但也與否定連續統假設的ZFC公理系統相容。

用較不正式的講法，馬丁公理講的是任何小於連續統的基數，其行為會與大體類似。這公理背後的想法可藉由研究羅修娃－西葛斯基引理的證明得知；而這是用以控制特定力迫論證的其中一個原則。

陳述
給定任意的基數，我們可以定義一個如下的陳述，並將這陳述給記做：

對於任意滿足可數鏈條件的偏序及任意的稠密集的集族而言，若，則存在一個上的濾子，使得對於任意的而言，非空。

由於這是一個使得不成立的ZFC定理之故，因此馬丁公理可表述如下：

馬丁公理（MA）：對於任意的，成立

在這情況（應用可數鏈條件）下，一個反鏈是的子集，且這子集使得的任意兩個元素不兼容（若在偏序中存在一個低於兩者的共通元素，則說兩個元素是兼容的），而這與樹等情況下的反鏈是不同的。

為真，而這即是羅修娃－西葛斯基引理。

為假：是一個緊緻豪斯多夫空間，因此是個可分空間並滿足可數鏈條件。這集合沒有孤立點，因此其中的點是無處稠密的；但這集合是這麼多的點的聯集。（也可參見下述的與等價的條件）

與等價的陳述
以下陳述與等價：
 若是一個滿足可數鏈條件的緊緻豪斯多夫空間，那不會是個或更少的無處稠密集的聯集。
 若是一個上升的、滿足可數鏈條件的偏序集，而是的餘有限子集的集族，且，則存在一個向上的集合使得會見所有的元素。
 若是一個滿足可數鏈條件的非零布爾代數而是的子集的集族，且，那就存在一個布爾同態，使得對於任意中的而言，要不有一個，使得，要不有個有個上界，使得

結果
馬丁公理在組合數學、數學分析跟拓樸學上有許多有其他有趣的結果：

 在上的無原子σ-有限博雷爾測度中，個或更少的零測集依舊是零測集；不僅如此，實數集的個或更少的勒貝格測度為零的子集的聯集，其勒貝格測度為零。
 對於一個緊緻豪斯多夫空間而言，若，則這空間是序列緊緻的，也就是說這空間中的每個序列都有一個收斂子序列。
 在上，沒有任何非主要的超濾子的基本基數會小於。
 等價地，對於任意的，有，此處的是的，因此。
 蘊含說滿足可數鏈條件的拓樸空間的乘積依舊滿足可數鏈條件，而這結果又蘊含說不存在。
 若馬丁公理成立，而連續統假設不成立，那就表示存在有非自由的懷特海群（Whitehead group）；用這結果證明說懷特海問題獨立於ZFC。

後續發展
馬丁公理的一般化版本為以及。
謝爾頓·W·戴維斯（Sheldon W. Davis）在他的說中提出馬丁公理是受到貝爾綱定理的啟發而來的。

參考資料

延伸閱讀

 Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded.  Springer.  .
 Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier.  .

Category:集合論公理
Category:獨立結果