依賴選擇公理

在數學上，依賴選擇公理（，英語：Axiom of dependent choice）是選擇公理（）較弱的版本，但依賴選擇公理依舊足以發展實分析絕大多數的內容。依賴選擇公理最早由於1942年一篇討論哪些集合論公理對發展數學分析是必要的文章中引入。"The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame."  The axiom of dependent choice is stated on p. 86.

正式描述
若一個上的被稱作，則對於所有的而言，皆存在有一個，使得成立。

依賴選擇公理的表述如下：
對於任意非空集合及任意上的全關係而言，皆存在有一個上的序列，使得以下陳述成立：
對於任意的而言，

若限制上述的為所有實數的集合，那相關公理可表記為

應用
即使在沒有這條公理的狀況下，對於任意的，依舊可用一般的數學歸納法造出如此序列的最前面項；而依賴選擇公理說的是我們可用此種方式造出整個（可數無限的）序列。

這條公理是的片斷，而在「必須於每一步都做出選擇」且「一些選擇無法在不仰賴先前選擇的情形下獨立做出」的狀況下證明「存在有可以可數長度的超限遞歸建構的序」列時，這條公理是必須的。

等價陳述
在策梅洛-弗蘭克爾集合論的框架下，等同於完備度量空間上的貝爾綱定理。「貝爾綱定理蘊含依賴選擇公理」─

在的框架下，這公理也等價於勒文海姆–斯科倫定理。Moore states that "Principle of Dependent Choices  Löwenheim–Skolem theorem" — that is,  implies the Löwenheim–Skolem theorem. See table The converse is proved in 

在的框架下也與「所有有層且都有」這陳述等價。

不僅如此，也與弱化版的佐恩引裡等價；特別地，與「任何使得所有良序鏈都有限且有界的偏序，都必然有極大元素」這敘述等價。

 所有有ω層且剪枝過的樹都有分支的證明設是上的完整二元關係（entire binary relation），那麼此處的策略是定義一棵上有限序列的樹，而這棵樹的鄰近元素滿足這關係。在這種狀況下，的其中一個分支是鄰近元素滿足這關係的無限序列。我們先從定義「若對於而言，，則」開始，由於是完整二元關係之故，因此是一棵具有層且剪枝過的樹，因此有這分支，因此對於所有的而言，，而這蘊含了，因此為真。

設是一棵位於上具有層的剪枝過的樹，那麼此處的策略是定義上的二元關係，而這關係使得導出這樣的序列，而在這序列中，且是一個嚴格遞增函數；而在這種狀況下，無窮序列是一個分支。（要證明這點，只需要對進行證明）我們先定義「若是的始序列（initial subsequence），且且 ，則」開始，由於是一棵具有層的剪枝過的樹枝故，所以是個完整關係；因此蘊含說存在有無限序列使得，因此對於一些而言，。設的最終元素，那麼。對於所有的而言這序列屬於。由於這是的的始序列，或者是一個之故，因此是一個分支。

 與其他公理的關係 
和完整版的不同的是，在的框架下，不足以證明說有些實數集是不可測集，也不足以證明有些實數集合不具有貝爾性質或；而由於梭羅維模型滿足，且在此模型中所有的實數集合都是勒貝格可測集、都具有貝爾性質和完美集性質之故，因此這說法成立。

依賴選擇公理蘊含可數選擇公理，且嚴格強於可數選擇公理。伯奈斯證明說依賴選擇公理蘊含可數選擇公理，相關資料可見於的第86頁對於可數選擇公理不蘊含依賴選擇公理這點，可見

 註解 

 參考資料 



Category:集合論