二年級之夢

二年級之夢(sophomore's dream)是約翰·白努利於1697年發現的兩條有趣的數學恆等式。



名稱來自於與之相對的一年級之夢，也就是「  」。兩個夢都帶有數學嚇人的簡單表達方式，然而一年級之夢為錯誤的方程式，因為只要將  帶入就會發現無法形成等式；但是二年級之夢卻是正確的式子。

 證明 


第一條公式，首先利用對數轉換和積分與級數順序變化 ：
 對數轉換 
 指數函數的泰勒展開式 

得到 

在上式中我們利用了幂級數的均勻收斂性，以交換求和運算及積分運算

設 

則 

再設 

根據Γ函數，  

最終推得 
若則積函數為，則可用同法推得

 關聯條目 

菲涅耳積分

 參考 

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Category:数学恒等式