關係範疇

在數學上，關係範疇（記做Rel）指的是以集合為物件、以二元關係為態射的範疇。

在這個範疇中，其態射是與之間的關係，因此

這範疇中兩個關係及的合成由下式給出：

，若且唯若對於一些而言，且

關係範疇又被一些人稱為「集合間對應的範疇」（category of correspondences of sets）。

性質
集合範疇是關係範疇的（寬）子範疇，其中集合範疇的態射對應至以定義的關係。Rydeheard與Burstall二氏將此範疇給記做SetRelGeorge Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions , §7.2 RelSet, Henry Helson Publisher, Berkeley. .

關係範疇中的態射為關係，而其相對應的、從其映至關係範疇的態射有著反向的箭頭，因此這態射是個，因此關係範疇包含其反範疇且是個。Michael Barr & Charles Wells (1998) Category Theory for Computing Science , page 83, from McGill University

由逆關係作代表所建構的對合為關係範疇提供了一個短劍結構，因此關係範疇是一個。

關係範疇有兩個做為並映至自己的函子，其中一個是二元關係，另一個則是其轉置，而這兩個二元關係的兩種合成關係分別為及，其中第一個合成關係給出了A上的；而第二個合成關係則給出B上的齊次關係。由於這些函子是映至關係範疇自身的同態函子之故，因此這些同態函子是內部同態函子；而由於這些內部同態函子之故，因此關係範疇是個，且是個。

關係範疇可以的形式，由集合範疇得到，在這種狀況下，其有著以對應至冪集的函子為協變函子的單子。

一個第一眼看上去可能令人有點驚訝的事實是，關係範疇當中的乘法是以不相交聯集（而非如集合範疇一般的笛卡爾積）定義的，而其亦然。

就其幺半乘積與內部同態函子而言，關係範疇是個。

關係範疇是Peter J. Freyd與Andre Scedrov在1990年給出的代數結構的原型 & Andre Scedrov (1990) Categories, Allegories, pages 79, 196, North Holland ，他們自與出發，他們注意到了派生函子的性質，像例如說這函子保存了合成、逆轉跟相交等運算，而他們之後以這樣的性質建構了寓範疇的公理。

關係作為物件
David Rydeheard與Rod Burstall認為關係範疇有著作為齊次關係物件，一個例子是是一個集合而是一個二元關係；而這個範疇的態射是集合間保持關係的函數，在是第二個關係且是一個使得成立的函數，那是一個態射。David Rydeheard &  (1988) Computational Category Theory, page 41, Prentice-Hall 

Adamek、Herrlich與Strecker三氏進一步發展了這想法，他們將物件與給設成（集合，關係）。Juri Adamek, Horst Herrlich, and George E. Strecker (2004) [1990] Abstract and Concrete Categories , section 3.3, example 2(d) page 22, from Research group KatMAT  at University of Bremen

參考資料



Category:二元運算
Category:数学关系