最大與最小元

数学分支序理论中，最大元是某集合中，大於或等於其全體元素的特殊元素。最小元與之，小於等於該集合的任何元素。例如，實數集中，最大元是，而最小元是，但是區間並無最大元或最小元。

此處「大小」關係除一般實數的大小關係外，也可以是定義在任意集合上的偏序或預序。

 嚴格定義 
設為偏序集（或預序集亦可），為其子集。若的元素滿足：
對的任意元素，皆有，
則稱為的最大元（）。對偶地，若的元素滿足：
對的任意元素，皆有，
則稱為的最小元（）。

由定義，的最大（小）元必定是的上（下）界。且若為偏序集，則集合至多得一個最大元：若和皆為最大，則由定義有，又有，由反對稱性得。所以若有最大元，則必定唯一。若改為預序集則不一定。

整個偏序集的最大最小元又稱為頂（）和底（）。頂常以符號記作或，底則是或，在有补格和布爾代數等結構中尤為常見。有頂和底的偏序集稱為有界偏序集合。

 與極大極小元、上下界之別 
集合不一定有最大元，也不一定有上界。即使集合有上界和上確界，也不一定有最大元。舉例，實數系中，任何正數皆是負數子集的上界，且為其上確界，但是沒有最大元：不存在「最大的負數」。最小元與下界、下確界的關係也類似。最大元又與極大元（）不同：有極大元的集合不一定有最大元，但偏序集若有最大元，則同時亦是唯一的極大元。最小元與極小元（）亦不同。

 性質 

設為偏序集，為其子集。
 有限全序集的非空子集必有最大最小元。
 若有最大元，則必定是極大元。此時，衹有這一個極大元：對任意極大元，由於是最大元，必有，從而由極大知。所以若有多於一個極大元，則不能有最大元。
 若滿足升链条件，則其子集有最大元当且仅当其恰有一個極大元。
「僅當」：最大元必然是極大元。
「當」：假設有唯一極大元但沒有最大元。因為不是最大，有與不可比，又不是極大，所以有某個滿足。與也不可比：若，則與極大矛盾；反之又推出，與、不可比又矛盾。重複以上步驟，可得無窮遞升鏈（其中每個皆與不可比，又非極大），與升鏈條件矛盾。

 全序集的最大最小元 
假如限制到子集上為全序（如首段附圖的），則在中，最大元與極大元等價：若為極大，則對任意其他，必有（將與極大矛盾），故是最大元。

所以，全序集中，最大元與極大元兩個概念重合，有時也稱為最大值（），同理最小元與極小元也稱為最小值（）。但上述用法與實值函數論的用法略有出入。研究實值函數時，所謂最大值是函數的值域的最大元，又稱全域最大值、絕對最大值、最大值。而限制到某點鄰域時，對應值域的最大元（等同於極大元）則稱為局域最大值、相對最大值、極大值。最大最小值又合稱最值，極值亦同。

集合的最大最小值分別記作。在格理論或概率论中，為方便運算，會將兩數之最大最小值（即其組成二元集的最大最小元）簡記作併和交。換言之：

 例 

 實數集中，全體整數組成的子集沒有上界，從而沒有最大元。
 如圖所示，在集合上，定義自反關係使   。則皆是集合的上界，但因為不可比較，沒有最小上界。又不可比，沒有最大元。
 有理數集中，平方小於2的數所組成的子集有上界（如），但沒有最大元，也沒有上確界。
 中，區間有上確界而沒有最大元。但區間有最大元，同時也是上確界。
 配備時，滿足（而任意）的二元組的集合沒有上界，也沒有最大元。
 但當配備字典序時，有上界，但仍沒有上確界和最大元。

 參見 
 本质上确界和本质下确界
 始对象和终对象
 極大與極小元
 上极限和下极限
 上界和下界

 註 

 參考文獻 



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