譜圖論

數學上，譜圖論（）是圖論的分支，研究图的性質與其邻接矩阵、调和矩阵等的特徵多項式、特征值和特征向量有何關聯。個頂點的圖，其鄰接矩陣是矩陣，各分量分別以或表示對應的兩頂點之間是否有連邊。簡單無向圖的鄰接矩陣是實對稱矩陣，從而可，其特徵值皆是實代數整數。

雖然鄰接矩陣取決於如何標記頂點以作排序，但是矩阵的谱是圖不變量，不取決於標記方式。（不過也不是完備不變量，不足以完全刻畫圖的全部性質。）

譜圖論亦關注藉圖的矩陣特徵值重數定義的參數，如。

共譜圖
兩幅圖稱為「共譜」（）或「等譜」（），意思是兩者的鄰接矩陣，特徵值不僅數值相等，連重數也一樣，即組成的多重集相等。

共譜圖不必同構，但同構圖必然共譜。

 獨有的譜 
圖由譜決定（），意思是具有該譜的圖必與同構。簡單例子包括：
 完全圖
 有限，即恰有一個頂點度數大於的樹。

 共譜配偶 
若一對圖具有相同的譜，但是不同構，則稱為「共譜配偶」（）。最小一對共譜配偶是，前者是五個頂點的星，而後者是四個頂點的環，與獨一個頂點的不交並，如考拉茲和西诺戈维茨於1957年所述。最小一對多面體共譜配偶是兩個八頂點的九面體。

 尋找共譜圖 
幾乎所有树皆會與另一樹共譜。換言之，隨頂點數增加，有共譜樹的樹所佔比率趨於。一對正則圖共譜當且僅當其補圖亦共譜。一對共譜，當且僅當其相交陣列相等。

共譜圖亦可藉構造。尚有另一類共譜圖，來自各種點線幾何。此種幾何中，以各點為頂點，有直線過兩點則連邊，可得「點共線圖」（）。反之，以直線為頂點，兩直線相交則連邊，可得「線相交圖」（）。兩幅圖必共譜，但經常不同構。

 奇格不等式 
黎曼几何中，對於緊黎曼流形，有等周定理的推廣，稱為。其斷言，維區域的體積一定時，邊界的面積不能太小，相比的體積，比例常數有某個下界，與拉普拉斯－貝爾特拉米算子的特徵值有關。此不等式在圖論的離散情況下有類比，拉－貝二氏算子對應的概念是拉氏矩陣。譜圖論的奇格不等式在算法方面有應用，因為藉由拉氏算子的第二特徵值，可以估算圖的最小割之值。

 奇格常數 

图的奇格常數（），或作奇格數（）、等周數（），直觀理解是用作衡量該圖是否有「瓶頸」。多個學科需要衡量瓶頸程度，所以其用途包括：建造非常連通的计算机网络、洗牌、低維拓撲（尤其研究雙曲3流形時）。

對於一幅個頂點的圖，奇格常數的定義，可用符號寫成：

式中的最小值取遍一切大小不過半的非空頂點集合，而表示的邊邊界（），即恰有一端屬的邊所組成的集。的Definition 2.1

 不等式敍述 
當為正則時，與度數及第二特徵值之差（又稱「譜隙」）有關。多久克及阿隆、二人分別獨立證出以下不等式：的Theorem 2.4。



此不等式與马尔可夫链的密切相關，亦是黎曼几何中，的離散變式。

更一般情況，可考慮連通圖，不必正則，此時金芳蓉的書中有另一條不等式：

式中是（未歸一的）拉氏算子最小非平凡特徵值，是最大度，而是經歸一化的奇格常數：


其中表示中各頂點的度數和。

 霍夫曼-德爾薩特不等式 
對正則圖的獨立集大小，可用特徵值計算出一個上界，最先由和菲利浦·德爾薩特（）證明。不等式的敍述如下：

設是個頂點的正則圖，且最小一個特徵值為，則的獨立數

此上界應用在合適的圖上，就能以代數方式證明，以及有關有限域上子空間相交族的類似定理。

對於一般不必正則的圖，考慮歸一化拉氏矩陣的最大特徵值，也能推導出類似的結論：

式中和分別表示的最大度和最小度。此為另一不等式的特例：對於任意獨立集，有

其中代表集合中所有頂點的度數之和。

 沿革 
譜圖論在1950年代至1960年代逐漸出現。图论有研究圖的結構與譜性質之間有何聯繫，除此之外，量子化学研究亦是另一源頭，但兩個方向的研究互不流通，要到很後期才合而為一。1980年茨維特科維奇、杜布、薩克斯的專著《圖之譜》概括了當時本領域的多數研究，其後由1988年《圖譜論之近期成果》和《圖之譜》1995年第三版再次更新。2000年代，開創離散幾何分析，並加以發展。此領域處理譜圖論的方式，是利用加權圖的離散拉氏算子，在等領域有應用。近來，譜圖論應用廣泛，用於分析一些現實（如信號處理時）可能會遇到的圖。

 參見 
 強正則圖
 代数连通度
 代数图论
 譜聚類



 扩展图

 參考文獻 


Category:代数图论
Category:谱理论