良擬序

数学分支序理论中，良擬序或良預序（，簡寫作或）是特殊的擬序，其元素的任意无穷序列中，必有先後兩項遞增，即存在使。

 動機 
良基歸納法可用於任何良基關係上，用以證明某集的全部元素皆具某性質。所以，或許會考慮某擬序是否良基。不過，良基擬序的類，對某些運算不封閉，即由某良基擬序出發，經若干運算，構造而成的新擬序，不一定良基。欲使新擬序仍為良基，原擬序需追加若干限制。

以冪集運算為例。給定集合上的擬序，可以定義冪集上的擬序，使當且僅當對的每個元素，皆可在中找到元素大於等於該元素。可以證明不必良基，但若原擬序為良擬序，則冪集的擬序確實良基。

 定義 
集合上的良擬序（）是一種预序关系（即滿足自反性、传递性的的二元關係），使得中任意无穷序列，皆有先後兩項（）遞增。若有此種良擬序，則本身稱為良擬序集（），簡寫為。

良偏序（）既是良擬序又是偏序，即除前述條件外，尚具反對稱性。

良擬序有其他等價定義，如將條件改為既不含無窮嚴格遞減序列，又不含任意兩項不可比的無窮序列。換言之，擬序為良擬序當且僅當良基，且不含無窮反链。（與的拉姆齊論證相似。）

 性質 
  給定擬序，在冪集上有另一擬序，其中。此關係為良基當且僅當本身是。 
 給定良擬序，若有一列子集，其中每個子集皆向上封閉，則該序列終必恆定，即自某個起，以後各項。假若不然，則對每個，存在使非空，從中選一個元素，如此可得某個無窮序列，其無遞增的兩項。
 給定良擬序，的任何子集關於僅得有限多個極小元，否則該些極小元組成無窮反鏈。

 無窮遞增子序列 
若為，則任意無窮序列，皆有無窮上升子序列（各下標）。此種子序列或稱為「完美」（）。可用拉姆齊證法：給定序列，考慮全部中，何者使右邊沒有任何滿足。記此種的集合為。若無窮，則以為下標集的子序列將不具遞增的兩項，與為的假設抵觸。所以，為有限集。衹要大於中所有元素，則不屬，故有某個使，如此可逐項延伸，得到無窮遞增子序列。

「任意序列皆有無窮上升子列」與的條件等價，亦可作為另一種定義。

 例 

 ，自然數集配備平常的大小序，是良偏序，乃至良序。不過，若允許負數，換成整數集的大小序，則並非良擬序，因為此大小關係並非良基：負數組成無遞增兩項的序列。（圖一）
 ，自然數集按整除序，不是良擬序：質數兩兩不可比較，組成無窮反鏈。（圖二）
 ，自然數元組的集合，是良偏序。此為（圖三）。更一般地，若為良擬序，則對任意正整數，亦是良擬序。
 設為有限集，且至少有兩個元素。克莱尼星号是字母取自的全體有限字串之集。按字典序，不是良擬序，因為有無窮遞降序列。同樣，關於前綴關係亦非良擬序，因為前述序列在該偏序下是無窮反鏈。然而，倘按子序列關係排序，則是良偏序。 尤其見第1160頁。（在衹有一個元素的退化情況，此三種偏序完全一樣。）
 推而廣之，以為字母集的有限串集，按「嵌入」排序，如此組成良擬序當且僅當本身是良擬序，此結論稱為。其中所謂字串可以嵌入到，意思是中有與等長的子序列，逐項大於等於。若取子母集為無序集，則字串當且僅當是的子序列，退化成前款情況。
 相反，良擬序上的無窮序列集，記為，按嵌入序，一般不為良擬序。換言之，希格曼引理不適用於無窮序列。數學家引入，以期望推廣希格曼引理。
 以 之元素標記頂點的有限樹全體，按嵌入排序，也是，即。此處的樹有選定根節點，而嵌入的要求有三：某節點的子節點要映到該節點之像的後嗣；同節點的不同子節點，要映到該節點之像的不同子分支上；每個節點處的標記，小於等於其像的標記。
 無窮樹之間的嵌入關係是，由所證。
 可數全序類之間的嵌入關係是良擬序，同樣全序類之間亦然。（）
 可數布尔代数的嵌入序是良擬序，由萊弗定理證得。
 有限圖按图子式序組成良擬序集。（）
 對每個正整數，至多為的圖，按导出子图序，組成良擬序集。亦可同上考慮以良擬序標記其頂點，並要求該導出子圖的嵌入映射，使每個頂點的像的標記皆大於等於原標記，仍得良擬序。此外，按導出子圖序，構成良擬序。

 與良偏序的關聯 
字面上，良擬序較良偏序廣義，但基於以下觀察，兩者實際分別不大：一方面，必為。另一方面，若有某，則其各等價類組成。舉例整數集的整除序是擬序（但不是良擬序），其等價類形如，所以等價類組成的偏序同構於。

據米爾納，「考慮擬序，並不比偏序更為概括……僅是因為較方便。」又例如，在全序類的嵌入擬序中，開區間與閉區間不同構，但可互相嵌入，所以在對應偏序中屬同一等價類，稱該等價類「似乎不是很有啓發性」，而且，全體偏序集按包含關係組成的偏序類，雖然，但並不，若改為考慮全體擬序集則不會有此問題。

 註 

 參考文獻 





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