二階導數

微积分中，函數  的二階導數（或）是其导数的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用：

其中  為加速度， 為速度， 為時間， 為位置，而  表示瞬時的差值（又稱「delta」值）。最後一式  是位置  對時間的二階導數。

繪製函数图形時，二階導數描述曲線的曲率或凹凸性。若函數的二階導數為正，則其圖像是向上彎，像隻杯（）。反之，若其二階導數為負，則向下彎，像頂帽（）。

 二階導數的冪法則 
連續兩次用一階導數的，則會推導出二階導數的冪法則，如下所示：



公式對任意實數  成立。

 記法 

函數  的二階導函數常記為 ，其於  處取值為 。 換言之，

其中  表示一階求導。若用表示導數，則因變數  關於自變數  的二階導數記為

此種寫法的理由是， 表示對  求導，從而求導兩次應寫成：


 其他記法 
如前段所記，二階導數標準的萊布尼茲記法為 。然而，無法視之為純代數符號作運算。意思是，雖然看似兩個微分相除組成的分數，但是無法拆分、抵銷等。不過，可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則。倘若視  為兩微分之商，則求導時，根據商法則應有：

上式中， 為二階導數，但  則不然。 表示微分算子施用於  的結果，即 ，而  表示微分算子疊代兩次的結果，即 。最後  是先微分再平方，即 。

若採此寫法（並依上段解讀各符號含義），則二階導數各項可以自由操作，與其他代數項作運算。例如，二階導數的反函數公式，可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的链式法则亦然。不過，運算上的方便，與更換符號的不便，孰輕孰重，仍待定論。

 例 
考慮

運用冪法則， 的導數  由下式給出：

 的二階導數即是對導數  再次求導的結果，由下式給出：

另一個例子，考慮正弦函數 。有

而再次求導後，得到

換言之，正弦函數的二階導數是自身的相反數。

 與圖像的關係 
500px|thumb|alt = 正弦曲線上，某動點沿線自左至右移動。過該動點的切線也有畫出。| 的圖像，其中  的取值範圍是由  至 。當曲線向上彎時，切線為藍色。向下彎時則為綠。於拐點（即 ）處則為紅。

 凹向 
函數  的二階導數，描述其圖像凹的方向和程度，即凹性（）。若二階導數在某區間恆正，則函數在該區間向上凹（向上彎，又稱為凸函數或下凸函數），意即其切线總位於圖像下方「承托」。反之，若二階導數在某區間恆負，則函數在該區間向下凹（向下彎，又稱為凹函數或上凸函數），其切線總位於圖像的上方「壓制」着。

 拐點 

若函數的二階導數在某點的左右異號，則圖像由向上彎轉變成向下彎，或反之。此種點稱為拐點（）。假設二階導數連續，則在該點處必取零值，故可用「二階導數為零」之條件，篩選出可能的拐點。不過，二階導數為零的點不一定是拐點，如  有 ，但  在實數系上為凸，無拐點。

 二階導數檢驗 

二階導數與凹凸性的關係，有助判斷函數  的驻点（即滿足  的點 ）是否為局部極大點或極小點。具體言之：
 若 ，則  於  點取得局部極大值。
 若 ，則  於  點取得局部極小值。
 若 ，則二階導數檢驗無定論。該點或許是拐點，也可能是極大或極小點。
直觀理解，考慮一架賽車高速前進，但正在減速（加速度為負），則當速度降至零的一刻，賽車所在位置即為自起點出發，能達到的前方最遠處，因為此後速度降至負值，賽車會倒車。同樣，若考慮高速後退但加速度為正的賽車，則相應得到關於極小值的結論。

 極限 
二階導數若存在，則可以衹用一個极限寫出：

以上極限稱為。但是，有時二階對稱導數存在，則函數仍沒有（平常的）二階導數。

右側欲求極限的分式，可理解成的差商：

故其極限可視作序列二階差分的連續版本。

然而，上述極限存在並不推出函數  二階可導。該極限僅是二階導數存在時，計算該導數的一種方法，但並非其定義。反例有符号函数 ，其定義為：

符號函數在原點不連續，從而不可導，尤其並非二階可導。但是，在  處，二階對稱導數存在：

 二次近似 
正如導數與线性近似密切相關，二階導數也與二次近似如影随形。某函數  於某點的二次近似，是一個二次函数，與  在該點處具有一樣的一、二階導數。函數  於  附近的二次近似可寫成：

函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式。

 本徵值與本徵函數 
因為求導運算為線性，所以求導兩次亦可視為函數空間上的線性算子，從而可以研究其譜。換言之，可求微分方程  的函數解 （本徵向量）與常數 （本徵值）。對於許多種邊界條件，可以明確求出。

舉例，以閉區間  為定義域，邊界採用齊次狄利克雷条件（即 ），則諸本徵值為 ，對應本徵向量（亦稱本徵函數） 由

給出。此處 ， 為任意正整數。

其他情況的解，見。

 高維推廣 

 黑塞方陣 

二階導數的高維推廣，其一是同時考慮全體二階偏导数 。對於三元函數 ，二階偏導數包括

以及混合偏導數

還有其他次序的混合偏導數，如 ，但由二階導數的對稱性，衹要  滿足特定條件（如二階偏導數處處連續），則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是，各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣，稱為黑塞方陣（或）。該方陣的本徵值適用於多變量情況的二階導數檢驗（稱為）。

 拉普拉斯算子 

另一種常見推廣，則是衹考慮對同一個變量的二階導數，再求和，得到拉普拉斯算子（或）。拉氏微分算子記作  或 。以三維情形為例，定義為

函數的拉氏算子等於梯度的散度，亦是前述黑塞方陣之跡。

 參見 
 啁啾度——某訊號瞬時相位的二階導數（瞬時頻率的一階導數）。

 註 

 參考文獻 

 延伸閱讀 
 紙本 

 網上 

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