倒數和發散

数学中，倒數和發散的正整數集

是元素倒數的級數和發散的集合，即滿足

下文簡稱「大集」。與之相反，倒數和收斂的集合，元素倒數和有限，下文簡稱「小集」。

如此區分集合的大小，見於和埃尔德什等差数列猜想。

例
如無另外聲明，集合皆由正整數構成。
 有限集必為小集。
 全體正整數集是大集。換言之，全體正整數的倒數和（稱為调和级数）發散。推而廣之，任何等差数列（即形如的集合，其中皆為正整數）皆是大集。
 全體平方数的集合是小集（其倒數和為）。立方數、四次方數等亦然。更一般地，任何二次以上的正整數系數多項式取值的集合必為小集。
 的冪組成的集合是小集。對任何等比数列（即形如的集合，其中皆為正整數，且）也有同樣的結論。
 质数集已證明為大集（見素数的倒数之和）。相反，孿生質數集已證明為小集（見布朗常數），不過仍未知是否有無窮多對孿生質數。
 雖然質數集為大，質數真冪（即，其中，為質數）的集合為小。此性質常用於解析数论。一般地，完全次方數的集合為小，甚至全體冪數（質因子皆高於一次的數）亦組成小集。
 任意b進制下，不含某數字的數的集合也是小集。例如十進制中，不含數字7的數集是小集。此類集合的倒數和稱為肯普納級數。
 若集合的上密度非零，則必為大。

性質
 小集的子集仍是小集。
 有限個小集之並仍為小，因為兩個收斂級數之和仍收斂。用集合論術語複述，即小集組成。
 任意小集的補集為大集。
 斷言，集合為大，當且僅當由線性張成的多項式集，在閉區間的連續函數空間中稠密（關於拓撲）。此為斯通-魏爾施特拉斯定理的推廣。

未解問題

艾狄胥提出一個著名問題，問不含任意長度等差数列的集合，是否必為小集。他為此懸賞3000美元，高於自己，還開玩笑稱賞金違反最低工資法。後來，懸賞升至5000美元。截至2021年，問題仍然未解。

一般地，給定某集合的定義，很難分辨該集合是大是小。仍有許多集合的倒數和未知是否收斂。

參見

參考文獻



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