超積

數學上，超積（）是常見於抽象代數和數理邏輯（尤其模型論和集合論）的構造。超積是一族無窮多個结构之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的。超冪（）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。

舉例，給定一個域，可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。

超積有一些出奇的應用。用超積，可以寫出紧致性定理與完備性定理的優雅證明。的超冪定理，從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。亞伯拉罕·魯濱遜和埃利亞斯·扎孔（）用超結構及其單同態的表示來構造分析的非標準模型，使非标准分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。

 定義 
超積的一般定義中，先選定指標集、對應每個下標的结构（具相同的），以及上的超濾子。通常僅考慮為無窮集，且不為主超濾子的情況，即的元素有齊的全部餘有限子集，但無任何有限子集。原因是，在主超濾子的情況下，所得的超積只會與其中一個因子同構，並無新的性質。

笛卡儿积

上的代數運算，是逐點計。例如，對於二元運算，。然後，在笛氏積上，定義等价关系，使當且僅當

（應當理解為「與在大多數位置相等」）。

最後，所得的超積，是模的商集。所以，該超積有時記為

另一種看法是，在指標集上，定義一個有限可加的测度（弱於一般可數可加的條件），僅取二值，若則稱，否則稱。然後在笛氏積中，兩個元素若在幾乎每個下標處皆相等，則視為等同。超積是如此生成的等價類的集合。

其他同理可作引申：

其中表示模所屬的等價類。

特別地，若每個皆為有序域，則所得的超積亦然。

所謂超冪，意思是所有因子皆相等的超積：



也可以推廣到不為超濾子，而僅為上普通一個滤子的情況。此時所得的模型稱為約化積（）。

 例子 

超實數系是可數無窮多個（以自然數集編號）實數系的超積，其中所選的超濾子含有全部餘有限集。超實數系的大小次序擴展了實數之間的大小次序。例如，的序列所在的等價類，記為超實數，比任意實數都要大，因為對於任意實數，除有限項外皆比大。於是，可以理解成無窮大數。

類似地，可以定義、等，為相應標準結構的超積。

又考慮以下例子，以便理解超積中關係的定義。設超實數為序列所在的等價類。由於對每個都有，在超積中，有，所以是較原先構造出的更大的無窮大數。又考慮與類似的序列，令時，，但。則雖然兩個序列，但兩者僅在有限個下標處不相等，故兩者相等的下標集合是超濾子的元素（因為是餘有限集），從而作為等價類，有。

大基数論中，有個標準構造是小心選取超濾子，然後取整個集合論全類關於的超積。此時，的性質，對於所得超積的（高階）性質影響很大。例如，若可數完備，則相應的超積仍是良基的。該範例在有提及。

 沃希定理 

沃希定理（），又稱超積基本定理，由所證（）。定理斷言，任何一條一階邏輯式在超積中為真，當且僅當使該公式在中成立的指標的集合，是的元素。後一個條件，可以直觀理解為「大多數」皆認為該公式為真。嚴謹敍述如下：

設有表徵，指標集，其上的超濾子，且對每個，有結構。又設為關於之超積，即。則對任意個多元組，其中，以及對任意公式，

定理對公式的複雜度歸納得證。為超濾子（而不僅是濾子）的性質，在加入否定的一步用到。而在加存在量詞的一步，要用到选择公理。應用定理可得超實域的。

 實例 
設為結構上的一元關係，並構造的超冪。則集合在超冪中有對應的子集，而在中，對量化且為真的一階公式，將換成後，仍在超冪中成立。例如，設為實數集。設表示「為有理數」。則在中，對每對有理數，總有無理數介於兩者之間。即：

既然有理數集此一性質可以寫成一階命題，沃希定理推出，超有理數集仍有同一性質，即任意兩個超有理數之間，有一個不為超有理數的超實數（「超無理數」）。更一般地，超有理數集與有理數集具有完全一樣的一階性質。

然而，考慮實數的阿基米德性質，即不存在實數同時滿足此列無窮多條不等式。阿基米德性質無法用一階邏輯表示，所以，沃希定理不適用於此性質，不能推導出超實數滿足阿基米德性質。正好相反，超實數不滿足阿基米德性質，例如前一節構造的超實數，就比都要大。

 超冪的正極限（超極限）

模型論和集合論中，常考慮一列超冪的（範疇論的餘極限）。模型论中，此構造稱為超極限（）或極限超冪（）。

從某結構和超濾子開始，構造出超冪，並重複，得到等。對每個，有典範對角嵌入。在極限階段，如，取此前所有結構的正極限，如此便可取超限多次超冪。

參見





參考資料




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Category:泛代数