組合技巧

證明組合學的結論時，常用到組合技巧。

一類是計數原理，如加法原理、乘法原理、容斥原理，常用於解決組合計數問題。另一類則是證明技巧，如双射法用於證明某兩類物件的數目一樣多，而抽屜原理則能保證某些物件存在，也用作確定離散物件數目的最大或最小值，還有算兩次和能證明許多組合恆等式。

母函数和遞歸關係也是很強的工具，能巧妙操作數列，描述許多組合問題的情景，甚至將之解決。

 計數原理 
 加法原理 

加法原理是以下直觀結論：若有兩類方法做某事，甲類種，乙類種，且只能用其中一類的一種，則做該事的方法，合共種。用較嚴謹的語言，兩個不交集的基數之和，等於其並集的基數。

 乘法原理 

乘法原理是另一個直觀結論，斷言：若有甲乙兩事，甲事有種方法，乙事有種方法，則合共有種方法做完全部兩事。

 容斥原理 


容斥原理用多個集合各自的大小，及其任何組合之交的大小，表示出該些集合並集的大小。對於僅得兩個集合的情況，容斥原理斷言：兩集合之並的大小，等於與大小之和，減去交集的大小（因為該些元素重複數了兩次）。

對於有個有限集的情況，原理斷言：

 除法原理 

除法原理講述，若有一事要用某輔助程序就能完成，而有種方式做該輔助程序，但對於原來的事而言，每種解決方法對應輔助程序的種方法，則原來的事合共有種方法。

證明技巧
雙射法

要證明兩類物件數量相等時，可以用雙射法，即構造兩類物件的集合之間的双射（一一對應關係）。

 算兩次 

算兩次是證明恆等式的技巧，方法是分別證明左右兩式各自數算同一個集合的元素個數。

 抽屜原理 

抽屜原理斷言，若件物放入個抽屜，而，則必有某抽屜內放有多於一件物。此原理廣泛用於存在性證明，即證明具某組合性質的物件存在，但不舉出例子。

 特異元素法 

特異元素法是刻意將集合中的某元素與其他元素區分，視為特殊，於是所有子集可以分為包含該特殊元素與不包含該特殊元素兩類。如此，有時能化簡問題。

 母函數 

母函數是形式冪級數（類似於多項式，但可以有無窮多個項），其系數依次對應數列的各項。以母函數表示數列，開拓了證明恆等式和求數列通項公式的新方法。數列的（一般）母函數由下式定義：

 遞歸關係 

遞歸關係是利用數列某項之前的其他項定義該項。若證得數列的某條遞歸式，則可以已足以推導出此前未知的結論，不過一般而言，能找出通項公式則更佳。

 參考文獻 


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Category:数学原理