卡迪森-辛格問題

数学上，卡迪森-辛格問題（）於1959年提出，有關泛函分析，問某個特定C*-代数上的任意線性泛函，延拓到另一個較大的C*-代數時，是僅有唯一的可能，抑或可以有多個不同的延拓。2013年，問題得到解決，答案為肯定（即唯一）。

問題源出1940年代保罗·狄拉克對量子力学理論基礎的研究。1959年，與艾沙道尔·辛格給出嚴格的問題敍述。此後，發現純數學、應用數學、工程學、電腦科學等學科的多個未解問題，皆與卡迪森-辛格問題等價。卡迪森、辛格，以及日後多個作者，都相信問題答案為否定（即不唯一），然而於2013年，、、合著論文給出肯定的答案。翌年，三人因此獲頒發。

馬-斯-斯三氏皆為電腦科學家，本來並非研究C*-代數。馬庫斯甚至稱自己在解決該問題後，「仍无法用C*-代数的语言来描述它」。解決問題的轉捩點，是喬爾·安德森（）將其重寫成不牽涉C*-代數理論的等價形式。安德森於1979年證明，其「鋪砌猜想」（）與卡迪森-辛格問題等價。該猜想僅牽涉有限維希爾伯特空間的算子，而相比之下，原問題的空間則是無窮維。此後，亦有其他學者，如尼克·威佛（），在有限維空間中，給出其他等價問法。威佛的版本吸引了馬-斯-斯三氏研究。而此版本用交織多項式族（）獲解決。

 原問題敍述 
先引入若干定義：
平方可和的複，即。此空間為可分希爾伯特空間，內積定義由給出。
 從到的連續線性算子組成的集合。此集合上，有加減法、乘法、伴隨等運算，構成一個C*-代数。
 從到的對角連續線性算子集合。換言之，。包含於，故為其子C*-代数。
態C*-代數上的，是連續線性泛函，將單位元映到，且對任意半正定的，有（即此時要取實值，且該實值為非負）。
純態接續上項，稱為純態，意思是在上所有態組成的集合中，是，即不能寫成其他態的凸組合。

由哈恩-巴拿赫定理，上的任意泛函，必能延拓到上。卡迪森與辛格二人問，對於純態，此延拓是否唯一。所以，卡迪森-辛格問題是要證明或否證以下命題：
對上的任意純態，上都存在唯一的態，使延拓，即兩者限制到時等同。

此命題已證為真。

 鋪砌猜想敍述 
卡迪森-辛格問題的答案為肯定，當且僅當以下鋪砌猜想為真：

 對任意的，存在正整數使得：對每個，以及對維希爾伯特空間上的每個線性算子（可視為方陣），若其對角線全零，則存在某種方法將分劃為份，使得
 對於每個  都成立。
此處是正交投影，將（坐標以為下標）映到坐標僅以元素為下標的子空間。換言之，是下標為元素的各行列，相交而得的子方陣。而矩陣範數取為譜範數，即來自上歐氏範數的算子范数。

注意命題中，只能與有關，但不取決於。

 偏差敍述 
尼克·威佛（）證明，以下「」命題，同樣與卡迪森-辛格問題（的肯定答案）等價：

設有向量，滿足（單位方陣），且對每個，。則存在一種方法將分劃成兩個子集和，使得對於都有

馬庫斯、斯皮爾曼、斯里瓦斯塔瓦三人用交織多項式族（）的技巧，證明上述命題為真。該命題又有以下推論：
設向量滿足（對所有），還有
 對滿足的所有向量成立。
則可以將分劃成兩個子集、，使得對，以及滿足的任意向量，皆有：

「偏差」一詞的含義，在較小時顯明：在單位球面上取值恆為的二次型，可以分拆成兩個大致相等的二次型，而分拆出來的二次型在單位球面上各處的取值，離的偏差很小。利用命題此種形式，可以推導出關於圖分劃的若干結果。

參考文獻

外部鏈結

Category:算子理论
Category:量子力学