梅森素数与完全数集合

梅森素数与完全数是数论里关系密切的自然数。梅森素数以数学家、神学家、修士马兰·梅森命名，是能以表示、且为正整数的质数，如梅森素数就能写成。梅森素数在上述表达式对应的数一定是质数，但是质数不代表得出的结果就是梅森素数，如。完全数是等于真因数之和的自然数，真因数即自然数除自身外的因数。如就是完全数，因数分别是且。

根据欧几里得部分证明、萊昂哈德·歐拉完全证明的歐幾里得－歐拉定理可知梅森素数与已知完全数一一对应：只有能换算成公式，且是梅森素数的偶数是完全数。以为例，为质数，为完全数。

梅森素数与完全数是否无穷尽目前还是未解决的数学问题，伦斯特拉－波默朗斯－瓦格斯塔夫猜想的主题便是梅森素数频率，推断比小的梅森素数期望个数為，其中是欧拉数，是欧拉常数，是自然對數。已经发现的完全数都是偶数，但尚未排除存在奇数完全数的可能。已證明奇完全数必滿足某些條件，如不小於。

下表列出所有已知梅森素数、完全数及对应指数。截至2021年10月共发现51个梅森素数（及對應完全数），最大17个均由互联网梅森素数大搜索分布式计算项目发现。新梅森素数是用卢卡斯－莱默检验法发现，这种梅森素数素性测试可用于二进制计算机。

数字按从小到大排列，如果新发现比现有结果小的梅森素数则插入中间。序号后面的问号说明尚待验证。截至2021年10月，互联网梅森素数大搜索已经计算至，即第48个梅森素数以前的所有自然数均已验证。发现时间和发现人均指梅森素数，完全数按歐幾里得－歐拉定理计算。发现人列为“互联网梅森素数大搜索：姓名”说明此人拥有的设备采用互联网梅森素数大搜索找到该数。除前八个不超过十位外，后面的结果都非常长，最长的已有数千万位；下表仅列出前后各六位，中间以省略号表示。

 梅森素数与完全数集合 

下表列出了所有已知的梅森素数：

下表列出了所有已知的梅森素数指數：
 序  梅森素数 梅森素数位数 對應完全数 完全数位数 发现时间 发现人 发现方法 参考以下文献可以找到所有结果：





  1 2 3 1 6 1 古代 古希腊数学家已经知晓 人手计算  2 3 7 1 28 2  3 5 31 2  496 3  4 7 127 3 8128 4  5 13 8191 4 33550336 8 约1456年 不明 试除法  6 17 131071 6 8589869056 10  皮特罗·卡塔尔迪  7 19 524287 6 137438691328 12  8 31 21億4748萬3647 10 230584……952128 19  萊昂哈德·歐拉  9 61 230京5843兆0092億1369萬3951 19 265845……842176 37 1883年11月 伊万·波佛辛 卢卡斯数列  10 89 618970……562111 27 191561……169216 54 1911年6月 拉尔夫·欧内斯特·鲍尔斯 卢卡斯数列  11 107 162259……288127 33 131640……728128 65 1914年6月  12 127 170141183460469231731687303715884105727 39 144740……152128 77 1876年1月 爱德华·卢卡斯 卢卡斯数列  13 521 686479……057151 157 235627……646976 314 1952年1月 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 计算机采用卢卡斯－莱默检验法  14 607 531137……728127 183 141053……328128 366  15 1279 104079……729087 386 541625……291328 770 1952年6月  16 2203 147597……771007 664 108925……782528 1327 1952年10月  17 2281 446087……836351 687 994970……915776 1373  18 3217 259117……315071 969 335708……525056 1937 1957年9月 汉斯·黎瑟尔  19 4253 190797……484991 1281 182017……377536 2561 1961年11月 亚历山大·赫维茨  20 4423 285542……580607 1332 407672……534528 2663  21 9689 478220……754111 2917 114347……577216 5834 1963年5月 唐纳德·吉利斯 计算机采用卢卡斯－莱默检验法  22 9941 346088……463551 2993 598885……496576 5985  23 11213 281411……392191 3376 395961……086336 6751 1963年6月  24 19937 431542……041471 6002 931144……942656 12003 1971年3月 计算机采用卢卡斯－莱默检验法 布萊恩特·塔克曼  25 21701 448679……882751 6533 100656……605376 13066 1978年10月 蓝登·克特·诺尔、劳拉·尼克尔  26 23209 402874……264511 6987 811537……666816 13973 1979年2月 蓝登·克特·诺尔  27 44497 854509……228671 13395 365093……827456 26790 1979年4月 计算机采用卢卡斯－莱默检验法 哈里·尼尔森、大卫·斯洛文斯基  28 86243 536927……438207 25962 144145……406528 51924 1982年9月 大卫·斯洛文斯基  29 11萬0503 521928……515007 33265 136204……862528 66530 1988年1月 计算机采用卢卡斯－莱默检验法 沃尔特·科尔奎特、卢克·韦尔什  30 13萬2049 512740……061311 39751 131451……550016 79502 1983年9月 计算机采用卢卡斯－莱默检验法 大卫·斯洛文斯基等人（克雷公司）  31 21萬6091 746093……528447 65050 278327……880128 13萬0100 1985年9月  32 75萬6839 174135……677887 22萬7832 151616……731328 45萬5663 1992年2月  33 85萬9433 129498……142591 25萬8716 838488……167936 51萬7430 1994年1月  34 125萬7787 412245……366527 37萬8632 849732……704128 75萬7263 1996年9月  35 139萬8269 814717……315711 42萬0921 331882……375616 84萬1842 1996年11月 计算机采用卢卡斯－莱默检验法 互联网梅森素数大搜索：乔尔·阿蒙古德  36 297萬6221 623340……201151 89萬5932 194276……462976 179萬1864 1997年8月 互联网梅森素数大搜索：戈登·斯彭斯  37 302萬1377 127411……694271 90萬9526 811686……457856 181萬9050 1998年1月 互联网梅森素数大搜索：罗兰·克拉克森  38 697萬2593 437075……193791 209萬8960 955176……572736 419萬7919 1999年6月 互联网梅森素数大搜索：纳扬·哈吉拉特瓦拉  39 1346萬6917 924947……259071 405萬3946 427764……021056 810萬7892 2001年11月 互联网梅森素数大搜索：迈克尔·卡梅隆  40 2099萬6011 125976……682047 632萬0430 793508……896128 1264萬0858 2003年11月 互联网梅森素数大搜索：迈克尔·谢弗  41 2403萬6583 299410……969407 723萬5733 448233……950528 1447萬1465 2004年5月 互联网梅森素数大搜索：乔希·芬德利  42 2596萬4951 122164……077247 781萬6230 746209……088128 1563萬2458 2005年2月 互联网梅森素数大搜索：马丁·诺瓦克  43 3040萬2457 315416……943871 915萬2052 497437……704256 1830萬4103 2005年12月 互联网梅森素数大搜索：柯蒂斯·库珀、史蒂文·布恩  44 3258萬2657 124575……967871 980萬8358 775946……120256 1961萬6714 2006年9月  45 3715萬6667 202254……220927 1118萬5272 204534……480128 2237萬0543 2008年9月 互联网梅森素数大搜索：汉斯－迈克尔·埃尔维尼奇  46 4264萬3801 169873……314751 1283萬7064 144285……253376 2567萬4127 2009年6月 互联网梅森素数大搜索：奥德·麦格纳·斯特林莫  47 43112609 316470……152511 1297萬8189 500767……378816 2595萬6377 2008年8月 互联网梅森素数大搜索：埃德森·史密斯  48 5788萬5161 581887……285951 1742萬5170 169296……130176 3485萬0340 2013年1月 互联网梅森素数大搜索：柯蒂斯·库珀  不适用 6868萬9253 最低未验证里程碑（截至西元2024年6月23日） 49？ 7420萬7281 300376……436351 2233萬8618 451129……315776 4467萬7235 2016年1月 互联网梅森素数大搜索：柯蒂斯·库珀计算机采用卢卡斯－莱默检验法  50？ 7723萬2917 467333……179071 2324萬9425 109200……301056 4649萬8850 2017年12月 互联网梅森素数大搜索：乔纳森·佩斯  51？ 8258萬9933 148894……902591 2486萬2048 110847……207936 4972萬4095  互联网梅森素数大搜索：帕特里克·拉罗什  不适用 1億1748萬5899 最低未测试里程碑（截至西元2024年6月23日）

 注释 

 参考资料 

 外部链接 
 整數數列線上大全：完全数 
 整數數列線上大全：梅森素数 
 整數數列線上大全：对应指数 
 互联网梅森素数大搜索：梅森素数集合，列出完整数字 
 梅森素数史技术报告，盖伊·霍沃斯著 

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