丹德林球

在几何学中，丹德林球是指一個或两個球體，它們與圓錐相切，同時也與另一個與此圓錐相交的平面相切。圓錐與平面的截痕則形成圆锥曲线，而任一球體與平面相接的點則是圓錐曲線的焦點。因此丹德林球有时也稱為焦球。

丹德林球是在 1822 年發現的。  它是為紀念法国數學家當德蘭·皮埃爾·丹德林（Germinal Pierre Dandelin）而名, 但朗伯·阿道夫·雅克·凯特勒 也有部分貢獻。

丹德林球的用途，通常是用來為已阿波罗尼奥斯所知的兩個定理提供优雅的现代证明。第一个定理是，所有與两个固定点（焦点）的距离之和是常数的點，其轨迹是闭合圓錐曲線（即椭圆）。第二个定理是，对于任圓錐曲線，到定点（焦点）的距离与到定线（準線）的距离成正比，比例常数称为偏心率。 Heath, Thomas. A History of Greek Mathematics, page 119 (focus-directrix property) , page 542 (sum of distances to foci property)  (Clarendon Press, 1921).

圓錐曲線的每个焦点都會有一個丹德林球。椭圆有两个丹德林球，它們會相切於相同的錐體，而双曲线則有两个丹德林球，卻是接触相反的錐體。抛物线則只有一个丹德林球。

 截面曲線到焦点的距离之和為定值的證明 

解釋如下，設 S 為此圓錐的頂點，平面 e 與此圓錐交於曲線 C（藍色區域）。以下則證明 C 是橢圓。

放置兩個棕色的丹德林球G1 和 G2，皆與平面和圓錐相交，上面的為G1，下面的為G2。而兩個球體與錐體相切的點形成圓形（白色的部分），分別記為 与 。

將 G1 與此平面的切點記為 F1 ；類似地，用於G2 與F2。P 為曲線 C 上一點。

需要證明：當 P 沿著截面曲線 C 移動時， 仍是定值（橢圓的定義之一）。
 將 P 與圓錐頂點 S 作一直線，與 G1 和 G2 分別交於 P1 和 P2 。
 將 P 移動時，P1 和 P2 則沿著兩個圓移動，且其距離  是定值。
 P 和 F1 的距離會等同於 P 到 P1 的距離，因為線段 PF1 和 PP1 都相切於G1。
 基於對稱性，P 到 F2 的距離，等於 P 到 P2 的距離，因為線段 PF2 和 PP2 都相切於G2
 於是，我們計算出其距離和  是定值。

這是用以證明阿波罗尼奥斯定理的另一個證明。

如果我們定義橢圓為與兩交點的距離和為定義的 P 的集合，則上述論述證明了此曲線確實是橢圖。此面，平面與圓錐截痕會以 F1 和 F2 的中垂線對稱這論述，看起來像是違反直覺，但此方法則讓其顯而易見。的則是因為焦點可互換。


同樣是平面和圓錐的截面，上述論述也可改編後適用於雙曲線和拋物線。另一個改編則是將橢圓理解為平面於垂直圆柱体的截面。

 焦點－準線性質的證明 
丹德林球同樣也可用來發現圓錐截面的準線。每個丹德林球與㘣錐相切的點會形成圓形，而由這些圓形可定義出它的所在的平面且平行。
而它們與原平面的截痕則會是平行線，此即為準線。然而，拋物線則會有一個丹德林球，因此只有一個準線。

使用丹德林球，可以證明此截痕：「與焦點的距離和準線的距離成比例」。Brannan, A. et al.  Geometry, page 19  (Cambridge University Press, 1999). 古希臘數學家，如阿波羅尼奧斯 ，認知到此性質，而丹德林球則給出了證明。

但丹德林或Quetelet 都沒使用丹德林球來證明此屬性。第一個如此做的人可能是 1829 年的 Pierce Morton，又或者可能是 Hugh Hamilton (bishop) 在 1758 年時記下的「一個與圓錐相切於球，可用來定義了一個新平面，與原平面的截痕即為準線」。Morton, Pierce.  Geometry, Plane, Solid, and Spherical, in Six Books, page 228  (Baldwin and Cradock, 1830). Liber (book) II, Propositio (proposition) XXXVII (37).而焦點－準線性質也可提供一個簡單的作法，可以用來證明克卜勒定律。Hyman, Andrew. "A Simple Cartesian Treatment of Planetary Motion", European Journal of Physics, Vol. 14, page 145  (1993).

 外部鏈接 

 丹德林球 
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