尤拉臨界負載

尤拉临界負载是细长柱體突然弯曲或挫曲時的压缩負载。公式如下： 



其中

 , 尤拉临界負载（柱上的纵向压缩負载），
  ，柱體材料的杨氏模數，
  ，柱體横截面的最小面积惯性矩，
 , 柱體的无支撑长度，
  ,柱體有效长度係數

这个公式是在西元1757年由瑞士数学家莱昂哈德·尤拉所推導出來。临界負载是不会引起横向挠曲（挫曲）的最大負载。对于小于临界負载的應力，柱将保持笔直。对于大于临界負载的應力，柱将有横向形變產生。恰等於临界負载的應力，使柱处于不稳定平衡状态。超过临界载荷的载荷会导致柱因挫曲而失效。随着負载增加超过临界負载，横向形變量会增加，直到它可能在其他模式下失效，例如材料降伏。超出临界負载的應力不在本文的讨论範圍。

大約在1900年， J. B. Johnson 提出在低細長比下，應該使用不同的方程式。

 模型假设 
缩略图|343x343像素|图 2：尤拉临界負载的柱體有效长度係数。在实际设计時，建议增加為如上图所示的係数。
在推导尤拉公式時所做的假设如下： 

 柱體材料均质且具等向性。
 柱體受到的压缩負载仅有轴向。
 柱子没有初始应力。
 柱子的重量被忽略。
 柱子最初是直的（轴向負载没有偏移）。
 销接头无摩擦（无力矩约束），若是固定端則無刚性（无旋转偏转）。
 柱子的横截面在其整个长度上是均匀、不改變的。
 與弯曲應力相比，直接应力非常小（材料仅在弹性应变范围内被压缩）。
 細長比很高，与柱的横截面尺寸相比，柱的长度非常長。
 该柱仅因挫曲而失效，即柱中的压应力不超过降伏强度 （见图1）：


其中：

 , 细长比,
  ，有效长度，
  ,迴转半径,
 , 面积惯性矩,
 , 横截面面積。

对于细长柱體，临界挫曲应力通常低于降伏应力。相比之下，坚固的柱子可能具有高于降伏的临界挫曲应力，即它會在挫曲之前就先降伏。

 数学推导 

 銷接端點的柱體 
以下模型适用于两端為简支承的柱子（  ）。

首先，我们要注意銷接端没有反作用力，所以柱的任何横截面也没有剪力。没有应力的原因可以从对称性（所以应力应该在相同的方向）和力矩平衡（所以应力应该在相反的方向）得到。

使用圖 3 右側的自由体图，并將点 x 的力矩加總：



其中 w 是横向變形。

根据尤拉-伯努利樑理论，樑的挠度与其弯矩的關係式为：

  ,

缩略图|475x475像素|图 3：挫曲負载作用在兩端為銷接點的柱體
让 ， 所以：





我们得到一个经典的齐次二阶常微分方程。

该方程的通解为：  ， 這裡的  和  常数由边界条件所定義，它们是：

 左端點固定
 右端點固定

缩略图|355x355像素|图 4：前三种挫曲負载模態
如果 ，没有弯矩存在，我们得到了平凡解 。

但是，从其他解  我们得到  ， 其中

再加上前述的  ，各种临界負载是：

  ， 为了

并取决于  的值 ，产生不同的挫曲模態 ，如图 4 所示。 n=0 时的負载和模態是非挫曲模態。

理论上任何挫曲模態都有可能出現，但在缓慢施加負载的情况下，可能只会产生第一种模态形状。

因此，銷端柱的尤拉临界負载為：



得到柱的第一模态挫曲形状为：

  .

 通常的做法 
缩略图|400x400像素|图 5：作用在柱上的力與力矩。
樑軸向的微分方程：



对于仅具有轴向負载的柱，横向負载  消失，再代入  可得到：



这是一个齐次四阶微分方程，其通解为



四个常数  由兩端边界条件所决定的  來得到。有以下三种情况：

 銷接端 (Pinned end)：
 和
 固定端 (Fixed end)：
 和
 自由端 (Free end)：
 和

对于这些边界条件的每一种组合，都会得到一個特征值问题。藉由解决这些问题，我们得到了图 2 中所示每种條件下的尤拉临界負载值。

 參見 

 挫曲
 弯矩
 弯曲 (力學)
 尤拉-伯努利樑理论

 参考資料 

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Category:力學
Category:莱昂哈德·欧拉