等化子

在數學的範疇論分支，若干個函數的等化子（）是使其值相等的參數的集合。換言之，兩個函數的等化子，是方程的。僅得兩個函數時，也稱為其差核，因為等於兩個函數之差的。

 定義 
設與為集合。又設為從至的函數。則與的等化子為中所有滿足的元素的集合，以符號表示為：

等化子可以表示成或類似的符號，如改成小楷。有時非正式地寫成。

上述定義用到兩個函數，但其實不必限制為兩個函數，甚至不必為有限多個函數。一般而言，若是一族函數，從映向，則的元素的等化子，是使對所有皆相等的元素的集合。以符號表示：

若可以寫成，則等化子亦記為。此情況下，亦可非正式地寫成。

作為一般定義的退化，考慮為單元集。由於必然等於自己，等化子等於整個定義域。更退化的情況下，設為空集。則等化子仍為全個定義域，因為條件的全稱量化命題為。

 差核 

二元的等化子（即兩個函數的等化子）又稱差核（）。的差核可以記為、、。最後一種寫法表明名稱的由來，是兩個函數之差的核，而且抽象代数中，該寫法亦最常用。此外，單一個函數的核，可以作為差核找到，其中表示取零值的常數函數。

以上假設核的意義如同抽象代數中，解作某函數作用下，的原像，但在範疇論定義中，並不一定。

 範疇論 

等化子可以用泛性質定義，以將此概念從集合範疇推廣到任意的範疇。

一般地，在任意範疇中，設為物件，而為自往的態射。此兩件物件及兩個態射組成該範疇的一幅圖，而的等化子，則是該圖表的極限。

具體而言，等化子是物件與態射的整體，滿足，且對任意物件與態射，若有，則存在唯一的態射，使得。

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其中態射滿足的條件，即，又稱為等化（）與 。

在泛代数範疇，例如有定義差核的範疇，或集合範疇，物件總可以按原始定義（即）選取，而相應的態射則是作為子集的包含映射。

可以直接推廣到多於兩支態射的情況，只要用在圖中，添加更多支態射，然後再取極限便可。同樣，只有一支態射的退化情況也很直接，而可以取為任何由至的同構。

但是，無態射的退化情況較為特殊，要較仔細畫出正確的圖。一開始，可能會嘗試畫出物件和，然後不加任何態射。然而，此為不正確，因為該圖的極限，是和的範疇論積，而非所求的等化子（應為）。正確觀念是，等化子的定義，與定義域密切相關（例如在集合範疇的情況下，出現在定義式中），但與的關聯則僅在於是圖中態射的陪域。 所以，若無態射，則不必出現，故圖僅有。此圖的極限，是任何與間的同構。

可以證明，任意範疇中的等化子，皆為單態射。反之，若逆命題成立，即單態射皆為某兩支態射的等化子，則該範疇（在單態射意義下）稱為正則（）。更一般地，任意範疇中，正則單態射是某族態射的等化子。也有作者更嚴格，要求其為某兩個態射的二元等化子。然而，若所考慮的範疇，則兩種定義一致。

範疇論中，也有差核的概念。術語「差核」在範疇論各處也常用作描述二元等化子。預可加範疇中（於上的範疇，粗略而言，即每個態射集皆具阿貝爾群結構），「差核」一詞能逐字理解，因為兩支（相同端點的）態射之差有定義，即，其中表示。

若範疇有拉回（纖維積）及積，則有等化子。

 參見 

，等化子的對偶概念，將定義中所有態射的方向反轉而得。
，不動點理論的推廣，拓撲學中，研究拓撲空間等化子的理論。
拉回，可以用等化子和範疇論積構造的一類極限。

參考文獻

 外部鏈結 


一個互動網站，給出有限集範疇中的等化子例子。由Jocelyn Paine編寫。

Category:集合論
Category:範疇中的極限