升餘弦濾波器

升餘弦濾波器是一種經常用於數位調變的濾波器，它能夠最大限度地減少（ISI）。之所以會如此命名是因為，該濾波器的最簡形式頻譜（）的非零部分為餘弦函數，且被「抬升」至水平軸上方。

 數學描述 
右|缩略图|300x300像素|升餘弦濾波器在各種滾降係數下的頻率響應
右|缩略图|300x300像素|升餘弦濾波器在各種滾降係數下的脈衝響應
升餘弦濾波器是一種低通的實作，即具有殘對稱性的濾波器，這表示它的頻譜呈現约的奇對稱，是通訊系统的符元週期。

其頻域描述為分段定義传递函数，由下式給出：



或以餘的半正矢表示：





以兩個值為特徵；滾降係數  和符元率的倒數 。

這種濾波器的脈衝響應由下式给出：



以歸一化的sinc函數表示。這裡使用的是通訊領域的定義，而非數學領域所用的定義。

 滾降係數 
係數是對濾波器带宽過量（excess bandwidth）的度量，即所佔带宽超過奈奎斯特頻寬的部分，有些作者會使用 表示.  German version of Raised-Cosine-Filter

若我們將多餘的頻寬表示為 ，則：



是符元率。

該圖顯示為在0和1之間變化的振幅響應，以及對脈衝響應的相應作用。可以看出，時域的漣波準位會隨著減少而增加，這可以減少濾波器的頻寛過量，但只能以伸長脈衝響應為代價。

當靠近0時，滾降區變得無限窄，因此：



是矩形函數，所以脈衝響應會趨近 .因此，在這種情況下，它會收斂到理想或磚牆濾波器。

當 ，頻譜的非零部分是純粹的升餘弦，可化簡為：



或



 頻寬 
升餘弦濾波器的頻寬通常定義為其頻譜的非零正頻率部分的寬度，即：



 自相關函數 
升餘弦函數的自相關函數如下：



自相關分析可用於分析各種取樣偏移量結果。

 應用 
缩略图|500x500像素|連續升餘弦脈衝，顯示零ISI特性
當用於過濾符元流時，奈奎斯特濾波器具有消除 ISI 的特性，因為除了 的情形之外，所有 （是整數）的脈衝響應都是零。

因此，如果傳輸的波形在接收端被正確採樣，原本的符元值就可以完全恢復。

然而，在許多實際的通訊系統，由於受白雜訊之影響，會在接收器中使用匹配濾波器。對於零 ISI，發射和接收濾波器的淨響應必須等於 ：



因此：



這些濾波器稱為。

升餘弦是一種常用於的變跡濾波器。

 參考文獻 

 Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. .
 Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5.
 Tavares, L.M.; Tavares G.N. (1998) Comments on "Performance of Asynchronous Band-Limited DS/SSMA Systems" . IEICE Trans. Commun., Vol. E81-B, No. 9

 外部連結 
 Technical article entitled "The care and feeding of digital, pulse-shaping filters"  originally published in RF Design, written by Ken Gentile.

Category:電信理論
Category:线性滤波器