半多面體

在幾何學中，半多面體（）是一種面通過整體幾何中心的星形多面體 Uniform Polytopes, Manuscript (1991)。這些通過整體幾何中心的面跟某個平形多面體的面互相平行，但數量只有一半，因此稱為半多面體；而這些數量只有一半且通過整體幾何中心的面可稱為半面（hemi faces）。

 性質 
 威佐夫記號與頂點圖 
的形式為p/(p − q) p/q | r;，這表示其頂點周圍的面有一個反反向相接，這意味著他們的頂點圖為交叉四邊形，因此，這些立體與小斜方截半變換相關，它們的威佐夫記號形式類似。從上方的威佐夫記號可以看出，部分多邊形反向相接，事實上，其頂點布局形式為p/q.2r.p/(p − q).2r，其中p/(p − q)表示反向相接的p/q，這種布局方式會造成取之相鄰的2r邊形通過整體的幾何中心：如果將其表示為球形多面體的面，則它們覆蓋整個半球，且它們的邊和頂點位於球體的大圓上。

這類形式的威佐夫記號共有九種類型。這九種多面體在1881年由Albert Badoureau發現並描述。
100px四面半六面體3/2 3  2(3.4.3/2.4)(p/q = 3, r = 2)100px八面半八面體3/2 3  3(3.6.3/2.6)(p/q = 3, r = 3)100px小二十面半十二面體3/2 3  5(3.10.3/2.10)(p/q = 3, r = 5)100px大二十面半十二面體3/2 3  5/3(3.10/3.3/2.10/3)(p/q = 3, r = 5/3)100px小十二面半二十面體5/3 5/2  3(5/2.6.5/3.6)(p/q = 5/2, r = 3) 100px立方半八面體4/3 4  3(4.6.4/3.6)(p/q = 4, r = 3)100px小十二面半十二面體5/4 5  5(5.10.5/4.10)(p/q = 5, r = 5)100px大十二面半十二面體5/3 5/2  5/3(5/2.10/3.5/3.10/3)(p/q = 5/2, r = 5/3)100px大十二面半二十面體5/4 5  3(5.6.5/4.6)(p/q = 5, r = 3)

 定向性 
僅有八面半八面體是可定向曲面，其餘半多面體皆不具備定向性，就類似於克萊因瓶，整個面表面只有一個面，無法分辨內部和外部，立體上視覺上的「外部」任意點皆可以僅沿立體表面、不需經過打動的過程就走到對應點的相對於「內部」的位置。

 種類 
 擬正半多面體 
對應原像為正多面體的半多面體共有9個，在1881年由Albert Badoureau發現並描述。這些立體與對應的截半多面體共用頂點，而截半多面體是一種擬正多面體（Quasiregular Polyhedra），這些立體可以視為是這些擬正多面體的刻面多面體。這些立體又可稱為Versi-Regular Polyhedra，與Quasiregular Polyhedra相對應。
原像截半結果幾何結構名稱頂點布局對稱性100px正四面體100px正四面體對偶100px截半四面體100px四面半六面體3.4.3/2.43/2 3  2Td100px立方體100px立方體100px截半立方體100px八面半八面體3.6.3/2.63/2 3  3Oh100px立方半八面體4.6.4/3.64/3 4  3Oh100px正十二面體100px正二十面體100px截半十二面體100px小二十面半十二面體3.10.3/2.103/2 3  5Ih100px小十二面半十二面體5.10.5/4.105/4 5  5Ih100px大二十面體100px大星形十二面體100px大截半二十面体100px大二十面半十二面體3.10/3.3/2.10/33/2 3  5/3Ih100px大十二面半十二面體5/2.10/3.5/3.10/35/3 5/2  5/3Ih100px大十二面體100px小星形十二面體100px截半大十二面體100px小十二面半二十面體5/2.6.5/3.65/3 5/2  3Ih100px大十二面半二十面體5.6.5/4.65/4 5  3Ih

在歐幾里得空間中，有四種含無限邊形的平面鑲嵌可以是為是以半多面體方式構造的星形鑲嵌 (Star tilings section 12.3)。組成其的無限邊形可視為與平面鑲嵌的平面垂直，即將整個幾何結構視為一個球面多面體，每個無限邊形皆可將整體分隔為兩個半球體。
原像原始截半結果鑲嵌圖邊的排列幾何結構頂點布局對稱性正方形鑲嵌100px100px正方形半無限邊形鑲嵌150px4.∞.4/3.∞4.∞.-4.∞  4/3 4  ∞ p4m 100px正三角形鑲嵌100px100px雙三角形半無限邊形鑲嵌150px(3.∞.3.∞.3.∞)/2  3/2  3 ∞p6m 100px正六邊形鑲嵌100px100px六邊形半無限邊形鑲嵌150px 6.∞.6/5.∞6.∞.-6.∞  6/5 6  ∞ 三角形半無限邊形鑲嵌150px∞.3.∞.3/2∞.3.∞.-3  3/2 3  ∞ 
大部分的擬正多面體皆為正多面體截半後的結果。部分擬正半多面體也有類似的特點：
擬正多面體截半前的原像截半結果四面半六面體100px皮特里四面體 {4,3}3（立方體半形）（八面體半形） {3,4}3100px八面半八面體100px皮特里立方體{6,3}(2,2)100px立方半八面體S2:{4,6}S2:{6,4}100px大二十面半十二面體100px皮特里大星形十二面體100px大十二面半十二面體100px皮特里大二十面體100px

 參考文獻 

Category:星形多面体