限制 (數學)

在数学中，映射的限制  是一个新的映射，记作  或者  ，它是通过为原来的映射  选择一个更小的定义域  来得到的。反过来，也称映射  是映射  的扩张。

 正式定义 
设  是一个集合  到集合  的映射。如果  是  的子集，那么称满足的映射  是映射  在  上的限制。不正式地说，  是和  相同的映射，但只定义在  上。

如果将映射  看作一种在笛卡尔积  上的关系  ，然后  在  上的限制可以用它的图像来表示：



其中  表示图像  中的有序对。

 扩张 
映射  称为另一映射的  的扩张，当且仅当  。也就是说同时满足下面两个条件：

 属于  之定义域的  必然也在  的定义域中，即  ；
  和  在它们共同的定义域上的行为相同，即 。

具有特定性质的扩张

数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大，并要求扩张后的结果仍具有该性质，但扩张后。如寻找一个线性映射  的扩张映射  ，且  仍是线性的，这时说  是  的一个，或者说；寻找一个连续映射  的扩张映射  ，且  仍连续，则称为进行了；诸如此类。

具有特定性质的扩张可能是唯一的，这时则不必给出扩张映射  的详细定义，如稠密子集到豪斯多夫空间的映射的连续扩张。

 例子 

 非单射函数  在域 上的限制是 ，而这是一个单射。
 将Γ函数限制在正整数集上，并将变量平移  ，就得到阶乘函数：  。

 限制的性质 

 映射  在其整个定义域  上的限制即是原函数，即  。
 对一个映射在限制两次与限制一次效果相同，只要最终的定义域一样。也就是说，若  ，则  。
 集合  上的恒等映射在集合  上的限制即是  到  的包含映射。 Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974.  (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011.  (Paperback edition).
 连续函数的限制是连续的。 

 應用 

 反函數 


若某函數存在反函數，其映射必為單射。若映射  非單射，可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如：



因為 ，故非單射。但若將定義域限制到  時該映射為單射，此時有反函數



（若限制定義域至 ，輸出  的負平方根的函數為反函數。）另外，若允許反函數為多值函数，則無需限制原函數的定義域。

 粘接引理 

點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

設拓撲空間  的子集  同時為開或閉，且滿足 ，設  為拓撲空間。若映射  到  及  的限制都連續，則  也是連續的。

基於此結論，粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數，可以得到一個新的連續函數。

層

層將函數的限制推廣到其他物件的限制。

層論中，拓撲空間的每個開集，有另一個範疇中的物件與之對應，其中要求滿足某些性質。最重要的性質是，若一個開集包含另一個開集，則對應的兩個物件之間有限制態射，即若，則有態射，且該些態射應仿照函數的限制，滿足下列條件：

 對的每個開集，限制態射為上的恆等態射。
 若有三個開集，則複合。
 （局部性）若為某個開集的開覆蓋，且滿足：對所有，，則。
 （黏合) 若為某個開集的開覆蓋，且對每個，給定截面，使得對任意兩個，都有在定義域重疊部分重合（即），則存在截面使得對所有，。

所謂拓撲空間上的層，就是該些物件和態射組成的整體。若僅滿足前兩項條件，則稱為預層。

 引注 

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