隱藏吸引子

隱藏吸引子（hidden attractor）是动力系统中一種特別的吸引子，系統中不但有穩定的振荡（極限環或混沌吸引子），也存在唯一的穩定平衡點。

在动力系统的分岔理論中，若有不失去平穩集穩定性的有界振荡，會稱為是隱藏振盪（hidden oscillation）。在非線性控制理論中，非時變系統出現狀態有界的隱藏振盪，表示其越過了參數域的邊界，平穩集的局部穩定性也表示全域的穩定性（卡爾曼猜想）。若隱藏振盪（或是动力系统相空間內的某隱藏振盪子集）可以吸引鄰近幾乎所有的振盪，則稱為是隱藏吸引子（hidden attractor）。

針對有單一平衡點，而且平衡點具有全域吸引性的动力系统，隱藏振盪的出現表示其行為特性的改變，由單穩定性變成雙穩定性（bi-stability）。一般來說，动力系统會變成多穩態，同時在相空間中會同時出現局部的吸引子。平凡吸引子（穩定的平衡點）可以用解析或是數值的方式求得。但要找极限环（週期吸引子）或混沌吸引子的困難度就很高了（參考希爾伯特第十六問題）。
將吸引子分為隱藏或自激兩類
為了要識別物理系統或是數值實驗中的局部吸引子，需要在吸引子的吸引區域（basin of attraction）中選定一點為初始狀態，觀察系統狀態從初始狀態開始後，吸引子的特性。將吸引子分為隱藏或自激兩類，本身就反映出在相空間中找局部吸引子吸引區域的困難點。

定义 
若吸引子的吸引區域沒有和其他平衡點的開放鄰域有交集，此吸引子稱為隱藏吸引子（hidden attractor），否則，此吸引子稱為自激吸引子（self-excited attractor）。

將吸引子分為隱藏或自激的想法是由和提出的，和2009年首次發現蔡氏電路中的隱藏吸引子有關。同樣的，任何有界的振盪，若在相空間中不一定有開鄰界的吸引區域，則可以分類為自激振盪或隱藏振盪。

蔡氏電路中的混沌自激吸引子（綠色區域）。
初始位置在二個鞍點附近（藍色）或零平衡點附近（橘色）的軌跡會朝向吸引子（綠色）
蔡氏電路中的混沌隱蔵吸引子（綠色區域）。
初始位置在二個鞍點附近（藍色）軌跡會朝向零平衡點（橘色）或是往無窮遠處（黑色箭頭）
 自激吸引子 
針對自激吸引子，其吸引區域會伴隨一個不穩定的平衡點，因此可以用標準數值的程序來找自激吸引子，使軌跡從不穩定平衡點的鄰域開始，看是否會被吸引到某個振盪狀態中，若有，即為自激吸引子（自激振荡）。因此，自激吸引子就算和多穩態一起出現，也可用數值的方式發現吸引子，並加以視覺化。在洛伦茨吸引子中，針對經典的參數下，吸引子相對所有存在的平衡點都是自激吸引子, 可以在其附近將軌跡視覺化。不過有些參數下，會有二個平凡的吸引子和自激的混沌吸引子並存（自激吸引子只和不穩定的零平衡點有關）。、B-Z反应、若斯叻吸引子、蔡氏電路和厄农映射的吸引子都是自激吸引子。

是猜想自激吸引子的，不會超過對應不穩定流形的李雅普諾夫維數，也就是和吸引子吸引區域有重疊的不穩定流形。

 隱藏吸引子 
隱藏吸引子也有吸引區域，但不和其他的平衡點相連，因此在相空間中是「隱藏」的。例如，隱藏吸引子可能是以下系統的吸引子：沒有平衡點的系統（例如1902年提出，有的旋轉機電系統）、只有一個平衡點，且穩定的系統（例如阿依熱爾曼猜想的反例以及卡爾曼猜想的反例，這些猜想都是有關非線性控制系統的單穩定性）。最早提出的相關理論問題是希爾伯特第十六問題的後半部，此問題是有關二維多項式系統中，極限環的數量以及相互的位置，而嵌套的穩定極限環就是隱藏的週期吸引子。隱藏吸引子的概念已成為許多應用的動態模型中，發現隱藏吸引子的催化劑。

一般而言，有關隱藏吸引子的問題，沒有通用直接的方式來追蹤或是預測系統是否會有隱藏吸引子（例如）。不過針對二維系統，可以用解析方式觀測隱藏吸引子（例如希爾伯特第十六問題的第二個問題）。若要研究複雜非線性多維系統的穩定性和振盪，多半會用數值方法進行。
在多維系統中，不太可能用亂數初始資料進行軌跡積分來找區域性的隱藏吸引子，原因是其吸引區域可能很小，而且其維度可能比系統的維度要小很多。因此這種問題的數值區域化需要發展特殊的數值解析計算程序，可以選擇隱藏吸引子吸引區域中的一點作為啟始點（不包括平衡點的鄰域），再進行軌跡計算。也有一些以同倫（homotopy）和（numerical continuation）為基礎的有效方式：是建構類似系統的程序，此程序使得針對第一個系統（啟始系統）要數值計算振盪解（啟始振盪）的初值可以用解析方式求得，接下來將啟始振盪轉換到允許數值計算的第二個系統。

隱藏吸引子理論
將吸引子分為自激吸引子和隱藏吸引子，是出現隱藏振盪理論的基本前提，這代表了安德羅諾夫（Andronov）隱藏理論的現代發展。找到全域穩定性的確切邊界是關鍵。N. Kuznetsov將全域穩定性分類為平凡的（依局部的分叉決定）或隱藏的（依照非局部的分叉以及隱藏振盪的出現）兩類。

 參考資料 

書籍
	Chaotic Systems with Multistability and Hidden Attractors (Eds.: Wang, Kuznetsov, Chen), Springer, 2021 (doi:10.1007/978-3-030-75821-9 ) 
 Nonlinear Dynamical Systems with Self-Excited and Hidden Attractors (Eds.: Pham,  Vaidyanathan, Volos et al.), Springer, 2018 (doi:10.1007/978-3-319-71243-7)

 外部連結 
 Hidden attractors in dynamical systems: systems with no equilibria, multistability and coexistence of attractors. Fundamental problems (16t Hilbert problem, Aizerman and Kalman conjectures) and engineering models (PLL, aircraft control systems, drilling systems, Chua circuits) 

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