矩阵分析

矩阵分析（英语：matrix analysis） 是一门研究矩阵及其代数性质的学科。这门学科研究的内容包括矩阵的运算（加法、矩阵乘法等）、矩阵函数、矩阵的特征值（特征值分解）等。

 矩阵空间 
数域 F 下的所有 m×n 矩阵构成向量空间 Mmn(F)。数域 F 包括有理数ℚ、实数ℝ、复数ℂ等。当  或  时，空间 Mmn(F) 和 Mpq(F) 不一致，例如 M32(F) ≠ M23(F)。

两个 m×n 的矩阵 A 和 B 在空间 Mmn(F) 相加可以得到空间 Mmn(F) 下的一个新矩阵：



与数域 F 中的数 α 相乘，也可以得到空间 Mmn(F) 下的矩阵：



以上两条性质可以总结为：在矩阵空间 Mmn(F) 下的两个矩阵 A 和 B 线性组合可以得到向量空间Mmn(F) 下的一个新矩阵：



其中 α 和 β 是数域 F 中的数。

所有矩阵都可以表示为基矩阵的线性组合，这些基矩阵起到类似于基向量的作用。例如，对于实数域下的 2×2 矩阵空间 M22(ℝ)，一组可行的基矩阵可以是：



因为所有的 2×2 矩阵均可以表示为：



其中 a, b, c,d 均为实数。这个思路也可以推广到高维矩阵空间下。

 行列式 

行列式是方阵的重要性质之一，它可以指示一个矩阵是否可逆。矩阵的行列式被用于计算特征值、求解线性方程组等方面。
 矩阵的特征值和特征向量 

一个  矩阵的特征值  和特征向量  定义为：

也就是说，一个矩阵乘以它的特征向量相当于它的特征值乘以特征向量。一个  的矩阵有 n 个特征值，它们是矩阵特征多项式的根：

其中  为  的单位矩阵。

 相似矩阵 
如果两个的矩阵和可以用相似变换联系起来，则两个矩阵相似：

可逆矩阵被称为相似变换矩阵。

 酉相似 

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