高斯圓問題

數學中，高斯圓問題（）問以原點為中心，為半徑的圓內，有多少個。答案與圓的面積相近，因此，真正的問題是如何準確地描述點數與面積的差異。問題得名自數學家卡爾·弗里德里希·高斯。

 問題 
考慮中以原點為中心和以為半徑的一個圓。高斯圓問題詢問該圓中有多少個點使和都是整数。由於在笛卡爾坐標系中，這個圓的方程式是，問題等價於詢問有多少對整數和使得



以表示輸入為時的答案。以下第一行先列出由至時，的值，第二行列出四捨五入到最接近的整數，以作比較：

 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 
 0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 

 解決方案和猜想的上下界 
大概是 ，半徑範圍內的區域 。這是因為平均而言，每個單位正方形包含一個格子點。因此，圓中格子點的實際數量大約等於其面積，  。因此，應該預期



對於某些錯誤項具有相對較小的絕對值。找到正確的上限因此是問題採取的形式。注意不必是整數。後一個有在這些地方之後它減少（以 ），直到下一次增加為止。

高斯設法證明G.H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, (1959), p.67.



谢尔品斯基将指數改进至，以大O符号表示，即證明，引进了他关于外尔和的估计，从而证明了指數為的結果（此數略小於）。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚与陈景润分别证得指數為與的上界。

下界方面，哈代G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263–283.和Landau分別獨立證明



其中用到小o表示。據推測R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition, Springer, (2004), pp.365–366.，正確的界線是



設總成立，則關於的最小可能值，目前所知的結果是



其中下界是1915年Hardy和Landau所證，上界於2000年由证明。M.N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function, Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275–290, A K Peters, Natick, MA, 2002, 

 確切形式 
的值可以由幾個形式給出，例如以下取整函數表示成以下和式： D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, New York: Chelsea, (1999), pp.37–38.



這是雅可比的結果，該定理來自。

如果將定義為將自然數寫為兩個整數平方之和的方法數，則是一个积性函数，且可寫出較簡單的和式：G.H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, (1959), p.67.



Hardy首次發現了以下的最新成果： 



其中表示第一種階數為1的貝塞爾函數。

 概論 
儘管最初的問題要求在一個圓內的整數點個數，但沒有理由不考慮其他形狀，例如圓錐形。的確，狄利克雷（Dirichlet）的除數問題是用矩形雙曲線替換圓的等價問題。同樣，可以將問題從二維擴展到更高的維度，並在球體或其他物體中求整數。關於這些問題有大量文獻。如果忽略幾何學而僅將問題視為Diophantine不等式的代數之一，則可能會增加問題中出現的指數，從平方到立方，甚至更高次方。

 原始圓問題 
另一個概括是計算互質整數解數量的不等式



此問題稱為原始圓問題，因為它涉及搜索原始圓問題的原始解。可以直觀地理解為在原點的歐幾里得果園中可見多少距離為r的樹木的問題。如果表示此類解決方案的數量然後的值為了取小整數值是

 0，4，8，16，32，48，72，88，120，152，192 （OEIS中的數列A175341）

使用與普通的高斯圓問題相同的方法，以及兩個整數互質的機率為，容易證明



與普通的圓問題一樣，原始圓問題的問題部分在於減少誤差項中的指數。如果假設黎曼猜想正確，目前最著名的指數是。在不假設黎曼猜想正確的情況下，最著名的上限是



其中為正常數 。 J. Wu, On the primitive circle problem, Monatsh. Math. 135 (2002), pp.69–81.特別是，目前不假設黎曼猜想正確的情況下，對於任何，的誤差項沒有限制。

 參考文獻 

 外部鏈接 


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