謝爾賓斯基空間

在數學上，謝爾賓斯基空間（Sierpiński space，又稱兩點連通空間（connected two-point set））是一個包含兩個元素的有限拓樸空間，其中只有一個元素是閉合的。這個空間是所有非密着且非离散的拓樸空間中最小的，而這空間以波蘭數學家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基的姓氏為名。

因為謝爾賓斯基空間在斯科特拓樸當中，是開集的分類空間（classifying space）之故，因此這集合在可计算性理论和語意處理上有重要的應用。一篇網路文章解釋了為何拓樸學可用在電腦科學中對「概念」的研究之上，詳情可見Alex Simpson的《Mathematical Structures for Semantics 》一文的第三章《Topological Spaces from a Computational Perspective 》，其中的「參照」一節提供了許多網路上關於域理论的文章。

定義及基本性質
謝爾賓斯基空間是一個其點集合為的拓樸空間，其所有的開集如下：

其所有的閉集如下：

也就是說，其單點集是閉集，而其單點集是開集，另外此處的代表空集合。

此空間的閉包如下：

一個有限的拓樸空間亦可由其特殊化预序唯一定義，當中，這预序是一個偏序，其形式如下：

拓樸性質
謝爾賓斯基空間是特定點拓樸（particular point topology）（謝爾賓斯基空間的特定點為1）和排除點拓樸（excluded point topology）（謝爾賓斯基空間的排除點為0）的一個特殊例子，因此謝爾賓斯基空間和這兩類拓樸空間有許多共通之處。

分離性
在謝爾賓斯基空間中，0和1這兩點是拓撲可區分的，這是因為是一個只包含這兩者其中一點的開集之故，因此謝爾賓斯基空間是一個柯爾莫果洛夫空間（空間）。
然而謝爾賓斯基空間不是一個空間，這是因為這個單點集不是閉集之故，也因此謝爾賓斯基空間不是豪斯多夫空間或空間（其中）。
然而謝爾賓斯基空間不是正則空間或完全正则空间，這是因為1這個點及其不相交集合不能以鄰域分離之故（另外點能以鄰域分離的空間是豪斯多夫空間）。
然而謝爾賓斯基空間可視為正规空间和完全正规空间，這是因為這空間中沒有非空的分离集合所致。
然而謝爾賓斯基空間不是完美正规空间，這是因為其彼此不相交的閉合和無法由函数完全分离所致。事實上，謝爾賓斯基空間的不能是任何連續函數的零集（zero set），而這是因為任何這樣的連續函數都是常函數所致。

連通性
謝爾賓斯基空間同時是個超連通空間（Hyperconnected space）（這是因為其所有的非空開集都包含1所致）和特連通空間（Ultraconnected space）（這是因為其所有的非空閉集都包含0所致）。
謝爾賓斯基空間是個連通空間和道路连通空间。 
一條連通謝爾賓斯基空間當中的0和1的道路可定義如次：且對於所有的而言，這個函數是連續的，因為在是開集。
和所有的有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個局部道路連通空間。
謝爾賓斯基空間是個可壓縮空間（contractible space），因此其基本群是個當然群（這點對高階同倫群（higher homotopy groups）也成立）。

緊緻性
和所有有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個緊緻空間和第二可數空間。
謝爾賓斯基空間的緊子集不是閉集，而這顯示了空間的緊集不必然是閉集。
任何謝爾賓斯基空間的開覆蓋都必然包含謝爾賓斯基空間本身，這是因為謝爾賓斯基空間為0的唯一的開鄰域之故，因此任何的謝爾賓斯基空間的開覆蓋都有包含一個集合的子覆蓋，就是。
而這表示說謝爾賓斯基空間是個滿正規空間（fully normal space，仿紧空间的一個子類）。Steen和Seebach二氏錯誤地認為謝爾賓斯基空間不是滿正規空間（或以其術語來說，不是滿空間）。

收斂性
任何謝爾賓斯基空間當中的序列都收斂至0，這是因為在謝爾賓斯基空間當中，0唯一的鄰域是謝爾賓斯基空間本身。
在謝爾賓斯基空間當中一個序列收斂至1，當且僅當該序列僅有有限多項為0。
在謝爾賓斯基空間當中，1是某序列的一個聚集点，當且僅當該序列包含無限多項的1。
例子如下：
1不是這序列的聚集点。
1是這序列的聚集点1，但並非極限點。
這序列同時收斂至0和1。

度量化可能性
謝爾賓斯基空間不是可度量化的空間，甚至也不是可偽度量化的空間，這是因為任何偽度量化的空間都必須是完全正则空间，而謝爾賓斯基空間就連正则空间都不是之故。
謝爾賓斯基空間可由偽擬度量生成，其中且。

其他性質
謝爾賓斯基空間只有三個映至自身的連續函數：恆等函數、兩個分別映至0和1的常函數。
而這表示說謝爾賓斯基空間的同胚群（英语：homeomorphism group）是當然群。

映至謝爾賓斯基空間的連續函數
設是一個任意集合，那麼一般會將所有從映至的函數的集合給記做，這些函數即是的指示函数，所有的指示函数都有如下的形式：

在其中是的一個子集。換句話說這個函數的集合和的幂集間，有著雙射的關係。每個的子集都有自己的指示函数，而每個從映至的函數都有如此的形式。

現在假定是個拓樸空間，而有著謝爾賓斯基拓樸，那麼是個連續函數，當且僅當在中是個開集；然而根據定義，我們有

因此是個連續函數，當且僅當在中是個開集。

假定是所有從映至的連續函數的集合，並假定是的拓樸（也就是所有開集的集族），那麼就存在一個從映至的雙射，這映射會將映至之上。

也就是說，假若將和對等，那麼其連續映射的子集會是的拓樸。

一個特別值得注意的例子是在對偏序集合的斯科特拓樸中，謝爾賓斯基空間會在指示函数保持定向连接（directed join）的狀況下，成為其開集的分類空間。

范畴论的描述
上述的結構可以用范畴论的語言很好地表達。有個從拓撲空間範疇到集合范畴的反變函子將每個拓樸空間給指派給其開集的集合，並將每個連續函數給指派給其原像：

而相關敘述如下：這個函子由表示，其中為謝爾賓斯基空間，也就是說，和同態函子（Hom functor）間有著自然同構，而這自然同構由泛元素決定，而這可由预层的概念一般化。Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, (1992) Springer-Verlag Universitext 

初拓扑
任何的拓樸空間都有由映至謝爾賓斯基空間的連續函數的集族所引致的初拓扑。事實上，若要將的拓樸變得更加粗糙，那就必須將一些開集給移除；然而若將開集給移除，那麼這個函數就會變得不連續，因此在當中的每個函數都連續的情況下，有著最粗糙的拓樸。

函數的集族區分上的點，當且僅當是個空間。和這兩點可由指示函数區分，當且僅當開集包含其中一點但不同時包含兩者。這也就是和拓樸可區分的確實含意。

也就是說，若是個空間，那就可以將給嵌入謝爾賓斯基空間的积空间中，在其中對於每個的開集而言，都有一個的複本與之對應。其嵌入函數

可由下列函數得出：

由於空間的子空間和积空间還是空間之故，因此一個拓樸空間是空間，當且僅當其與謝爾賓斯基空間的积空间的某個子空間同胚。

在代數幾何中
在代數幾何中，謝爾賓斯基空間會作為（整數在質數生成的素理想上的局部化）之類的離散賦值環（Discrete valuation ring）的譜出現。其中起自零理想的一般點（generic point）會對應至開集點1；而起自極大理想的特殊點（special point）會對應至閉集點0。

參見
 有限拓樸空間（Finite topological space）
 拓樸列表（List of topologies）
 偽圓（Pseudocircle）

註解

參考

 Michael Tiefenback (1977) "Topological Genealogy", Mathematics Magazine 50(3): 158–60 

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