中一新生之夢

（中文可譯「新手之夢」）指的是錯誤方程式「 = 」，當中  是一個實數（通常是大於1的正整數）。初階學生經常誤以為括號外的次方可以直接分配給括號內的項Julio R. Bastida, Field Extensions and Galois Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8.Fraleigh, John B., A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, p.453, .。其實只要假設  就可以簡單發現方程式並不成立：透過乘法分配律，。至於  值更大的方程式，則可以使用二项式定理計算正確答案。

在熱帶幾何的世界，加法取代了乘法，而极值取代了加法。在此情況下，「Freshman's dream」便是正確。

「Freshman's dream」也可代指另一項定理，，當中  是質數，而  和  是在具有  特徵的交換環上的代數。由於  能夠整除首項和末項以外的二項式係數，使中間的所有項都等於零，所以這個「錯誤」實際上可以做到正確答案。

 歷史與別名 
1940年一篇有關模曲線的文章中，桑德斯·麥克蘭恩引用斯蒂芬·科尔·克莱尼指出，特徵為2的體中的公式「」，有可能破壞中一新生的代數觀念。此為可追溯的最早將「中一新生之夢」與正特徵體的二項式展開公式連繫起來的言論Colin R. Fletcher, Review of Selected papers on algebra, edited by , Elizabeth W. Ralston and others. Pp xv, 537. 1977.  (Mathematical Association of America), The Mathematical Gazette, Vol. 62, No. 421 (Oct., 1978), The Mathematical Association. p. 221.，自此大部分代數課本都提及這個慣常誤解，其中1974年的代數課本似乎是首次使用「Freshman's dream」一詞Thomas W. Hungerford, Algebra, Springer, 1974, p. 121; also in Abstract Algebra: An Introduction, 2nd edition. Brooks Cole, July 12, 1996, p. 366.。別名包括1998年莊·法黎課本中的「」（中文可譯「中一新生之冪」）John B. Fraleigh, A First Course In Abstract Algebra, 6th edition, Addison-Wesley, 1998. pp. 262 and 438.；又鑑於可透過二项式定理計算，因而又被稱爲「小孩的二項式定理」（）或「中學生的二項式定理」（）。

至於「Freshman's dream」一詞則自19世紀起已在非數學範疇使用。

 例子 
 ，但.
（即  ）在大多數情況下都不等於。例如：，而。

 質數定理 
當  是質數，而  和  是在具有  特徵的交換環上的代數，那麼 。此理論可透過研究二項式係數的質數因數而論證：

第 n 個二項式係數為 。

由於分子是  的階乘，所以可以被  整除。不過當  之時， 和  都少於 ，因而兩者都不能被整除。但二項式係數必然是整數，因此第 n 個二項式係數可被  整除，交換環繼而等於零。自此整條方程式只剩下第0個和第 p 個二項式係數，因此可證 。結果也證明 p 次方製造了自同态，又稱交換環的弗罗贝尼乌斯自同态。

在此方程中， 必須是質數才可成立。有一相類近的定理指出，當  是質數的話，在多项式环中，。此定理成為現代質數測試中的關鍵。

 參見 
 一年級生
 素性测试
 弗罗贝尼乌斯自同态
 二年級之夢

 參考文獻 

Category:代数
Category:数学教育