已知最大質數

已知最大質數（）為，十進制時有41,024,320位數，由互联网梅森素数大搜索（）的志願者盧克 · 杜蘭特（）於2024年發現。

質-{}-數，又名素-{}-数，是一個除1與自身之外沒有其他因數的正整数。欧几里得定理說明質數沒有上限，不少數學家與嗜好者故一直尋找大質數。

不少大質數為梅森素数，定義為2的冪減去1的正整數。，首七個已知大質數皆為梅森素数。近十八次最大質數紀錄皆為梅森素数最後一個非梅森素数為391,581 ⋅ 2216,193 − 1 ；參見The Largest Known Prime by Year: A Brief History ，Caldwell着。所有梅森素数的二进制表示中，所有數字皆為1。

卢卡斯-莱默检验法的快速傅里叶变换比起其他方式能更快速尋找到梅森素数。

 現時紀錄 
截至2024年，已知最大質數為，共有41,024,320位數，由互联网梅森素数大搜索於2024年10月12日發現。其數值為：

上面只顯示首尾各120位數。

 獎金 
互联网梅森素数大搜索現為下載其軟件並成功尋找新梅森素数的參與者提供3,000美元獎金，該梅森素数的數位應少於一億位。

电子前哨基金会亦為大質數的找尋設立了數個獎項，互联网梅森素数大搜索亦有協調一億數位以上的質數搜索，並與成功尋找者分享电子前哨基金会所提供的150,000元美金獎金。

1999年發現首個超過一百萬數位的質數，並取得50,000美元獎金Electronic Frontier Foundation, Big Prime Nets Big Prize .。2008年發現了超過一千萬數位的質數，並取得100,000美元獎金。時代雜誌稱之為2008年第29名最佳發現兩項獎金皆為互联网梅森素数大搜索的參加者。电子前哨基金会現為首個一億及十億數位的質數提供獎金。

 已知最大質數歷史 
下表列出已知最大質數沿革，並按時序排列。此處，為2的n次方。時間最長的紀錄保持者為，為已知最大質數共計144年。1456年之前未存有關最大質數的紀錄。

 數字 數字展開（僅限小於M5000的數字） 數位 發現年份 發現者 M13 8,191 4 1456 佚名 M17 131,071 6 1588 伯多祿·卡塔迪 M19 524,287 6 1588 伯多祿·卡塔迪  6,700,417 7 1732 萊昂哈德·歐拉歐拉並未正式發表此數，但他於232 + 1的因式分解中已完成此質數的大部分證明過程，故部分專家認為歐拉知道此為質數 M31 2147483647 10 1772 萊昂哈德·歐拉  67,280,421,310,721 14 1855 湯馬斯·克勞森 M127 170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727 39 1876 爱德华·卢卡斯  20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921 44 1951 Aimé Ferrier使用機械計算機發現，非使用電腦發現的最大質數 180×(M127)2+15210644015679228794060694325390955853335898483908056458352183851018372555735221 79 1951 與, Large Prime Numbers. Nature 168, 838 (1951).使用的EDSAC電腦 M5216864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057151 157 1952  M607531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127 183 1952  M1279104079321946...703168729087 386 1952  M2203 147597991521...686697771007 664 1952  M2281446087557183...418132836351 687 1952  M3217 259117086013...362909315071 969 1957  M4423285542542228...902608580607 1,332 1961  M9689478220278805...826225754111 2,917 1963  M9941346088282490...883789463551 2,993 1963  M11213281411201369...087696392191 3,376 1963  M19937431542479738...030968041471 6,002 1971  M21701448679166119...353511882751 6,533 1978  M23209402874115778...523779264511 6,987 1979  M44497854509824303...961011228671 13,395 1979  M86243536927995502...709433438207 25,962 1982  M132049512740276269...455730061311 39,751 1983  M216091746093103064...103815528447 65,050 1985  391581×2216193−1148140632376...836387377151 65,087 1989 群組發現，包括約翰·布朗、、B. K. 柏拉狄、哲恩·史密夫、喬爾·史密夫、沙治奧Letters to the Editor . The American Mathematical Monthly 97, no. 3 (1990), p. 214. Accessed May 22, 2020.Proof-code: Z , The .，為已知最大質數歷史中最大的非梅森素數。 M756839174135906820...328544677887 227,832 1992  M859433129498125604...243500142591 258,716 1994  M1257787412245773621...976089366527 378,632 1996  M1398269814717564412...868451315711 420,921 1996 互联网梅森素数大搜索，喬爾·阿孟較得 M2976221623340076248...743729201151 895,932 1997 互联网梅森素数大搜索，戈登·斯彭斯 M3021377127411683030...973024694271 909,526 1998 互联网梅森素数大搜索，羅蘭·克拉克森 M6972593437075744127...142924193791 2,098,960 1999 互联网梅森素数大搜索，拿恩·哈拉華拉 M13466917924947738006...470256259071 4,053,946 2001 互联网梅森素数大搜索，米高·卡梅倫 M20996011125976895450...762855682047 6,320,430 2003 互联网梅森素数大搜索，米高·沙夫 M24036583299410429404...882733969407 7,235,733 2004 互联网梅森素数大搜索，喬許·芬德利 M25964951122164630061...280577077247 7,816,230 2005 互联网梅森素数大搜索，馬田·諾或 M30402457315416475618...411652943871 9,152,052 2005 互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀與史提夫·布恩 M32582657124575026015...154053967871 9,808,358 2006 互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀與史提夫·布恩 M43112609316470269330...166697152511 12,978,189 2008 互联网梅森素数大搜索，埃德森·史密夫 M57885161581887266232...071724285951 17,425,170 2013 互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀 M74207281300376418084...391086436351 22,338,618 2016 互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀 M77232917467333183359...069762179071 23,249,425 2017 互联网梅森素数大搜索，強納森·佩斯 M82589933148894445742...325217902591 24,862,048  2018 互联网梅森素数大搜索，派翠克·拉羅次 M136279841 881694327503...219486871551 41,024,320  2024 互联网梅森素数大搜索，卢克·杜兰特

互联网梅森素数大搜索發現了近十五個最大質數紀錄。

 二十大已知質數 
克里斯·科德韋爾設有一列表，內共有已知最大的五千個質數，其中最大二十個列於下表。

 排名 數字  發現日期  數位 种类 參考資料 1 2136279841 − 1 2024-10-12 41,024,320 梅森质数 2 282589933 − 1 2018-12-07 24,862,048 梅森质数 3 277232917 − 1 2017-12-26 23,249,425 梅森质数 4 274207281 − 1 2016-01-07 22,338,618 梅森质数 5 257885161 − 1 2013-01-25 17,425,170 梅森质数 6 243112609 − 1 2008-08-23 12,978,189 梅森质数  7 242643801 − 1 2009-06-04 12,837,064 梅森质数  8 Φ3(−5166931048576)（5166932097152−5166931048576+1） 2023-10-02 11,981,518 广义唯一素数  9 Φ3(−4658591048576)（4658592097152−4658591048576+1） 2023-05-31 11,887,192 广义唯一素数  10 237156667 − 1 2008-09-06 11,185,272 梅森质数  11 232582657 − 1 2006-09-04 9,808,358 梅森质数  12 10223 × 231172165 + 1 2016-10-31 9,383,761普罗斯数  13 230402457 − 1 2005-12-15 9,152,052 梅森质数  14 4 × 511786358 + 1 2024-10-01 8,238,312 广义普洛斯数  15 225964951 − 1 2005-02-18 7,816,230梅森质数  16 69 × 224612729 − 1 2024-08-13 7,409,102   17 224036583 − 1 2004-05-15 7,235,733梅森质数  18 107347 × 223427517 − 1 2024-08-03 7,052,391   19 3 × 222103376 − 1 2024-09-30 6,653,780 塔别脱数  20 19637361048576 + 1 2022-09-24 6,598,776 广义费马数 

 參見 

 梅森素数
 素性测试
 素数
 費馬數
 卡倫數
 胡道爾數


 超大質數
 索菲·熱爾曼質數

 參考資料 

 外部連結 
Press release about the largest known prime 282,589,933−1 
Press release about the former largest known prime 277,232,917−1 
Press release about the former largest known prime 274,207,281−1 

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