Davis-Kahan定理

Davis-Kahan定理（）是随机矩阵分析中的一个重要的基础性定理。它的基本内容是，如果两个矩阵在某种合适的模之下相近，且有足够的特征裂隙，那么它们相应的特征向量子空间也相似。

定理内容

两个线性空间的夹角
考虑两个单位列正交矩阵  （“单位列正交”意为：其满足 ） 之列向量分别张成的线性子空间，那么这两个子空间的张角，是由一个矩阵所表示的（显然这是如下熟知的特殊情形之概念上的拓展：  时，通常用一个数值表示两个向量之间的张角），式子如下：

上式中，“”是一个数学运算，表示线性空间之间的张角。

定理的经典版本
有了线性空间之间张角的定义，便可以开始陈述定理内容。设 是两个对称的随机矩阵，其特征值记为  和 。对任何  ，考虑第  这总共  个特征值之对应的特征向量所张成的线性子空间，将它记为 ，类似地定义 。

下面定义定理中最重要的量，即特征裂隙 ：

定理的结论是，如果  ，那么有如下不等式：

其中  表示Frobenius范数，即将矩阵的所有元素平方求和后，再开根号。

定理的Yu-Wang-Samworth变体版本
Davis-Kahan定理的经典版本有一些可改进之处，主要在于正特征裂隙假设，是一个同时牵涉两个矩阵的特征值  和  的条件，这对其应用的方便性造成负面影响。余怡、王腾耀和Richard Samworth于2014年发现如下变体，其最大特色是其只需其中一个矩阵满足正特征裂隙条件。

沿用上面经典版本定理的记号，另记  ，并用如下的特征裂隙条件代替原定理中的 ：

Yu-Wang-Samworth定理的结论，按经典版的  语言，陈述如下：

其中， 表示矩阵的谱范数，即其最大奇异值。

进一步，按矩阵论语言，有如下更显式的结论：存在一个正交矩阵  （“正交”是指其满足 ），使得：

注意事项
虽然Davis-Kahan定理大多数的应用是套用到随机矩阵上，但要注意定理本身并不局限于随机矩阵，无论定理内容中出现的矩阵是常数矩阵还是随机矩阵（抑或是一个确定一个随机），只要假设条件满足，定理的结论都成立（而非仅以大概率成立或渐近成立）。

应用
Davis-Kahan定理拥有广泛的应用，是谱聚类方法的理论基础，在统计学习和统计网络分析的很多涉及聚类问题的研究中，占据重要地位。

参见

特征裂隙

参考文献

D
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