總變差去噪

Category:信號處理
總變差去噪（英語：Total Variation Denoising）是訊號處理中一種常見的降噪方法，於1992年由L. I. Rudin、和E. Fatemi提出，因此亦稱為ROF模型。一個含有雜訊的訊號相較於其未受雜訊影響的訊號，會有較大的總變差值，即其梯度絕對值的總和較大。因此若能找到一個與原始訊號相似且總變差較小的訊號，即可作為原始訊號的降噪結果。此算法可以在去除雜訊的同時保留邊緣，即使在低訊號雜訊比的情況下，依然能有效的去噪和保留邊緣。

總變差

總變差為一函數其數值變化的總和。可表示為其微分後取絕對值再積分的結果。
一維連續函數
若一函數為一維連續可微函數，其在區間之總變差定義為
 ,
其中為的一次微分。

當不可微分時，其總變差由一般性的定義給出:
 ,
其中為區間中所有可能的分割，即。

一維離散函數
若一函數為一維離散函數，則其總變差定義為
 .
即差分後取絕對值再加總的結果。

一維訊號去噪
設輸入的觀察訊號為，對去噪得到的訊號為。我們可以透過解最佳化問題來從得到。當以總變差去噪法對訊號進行去噪時，最佳化問題應滿足以下兩個條件:
與相似，以保留訊號整體的結構性
的總變差不大，以降低雜訊
在數學上，兩個訊號的相似度可以以兩者差的-範數表示，即
 ,
其中即為-範數，而為訊號的取樣點。

藉由上述數學表達式，總變差去噪法的最佳化問題可以寫成
 .
即利用最小平方法，並以總方差作為正規化的正規項，以求得去噪結果。其中為正規化參數，用於調整正規項的重要程度。

由於和皆為凸函數，因此一維總變差去噪的最佳化為一凸優化問題，有許多凸優化演算法可以求解，且其解必為全局最佳值。

影像去噪
影像為二維離散訊號，在ROF模型中定義的總變差為
 ,
其中為梯度運算子。

然而該定義不可微分，做為最佳化問題的正規項時不易求解。因此也有-範數形式的二維總變差
 .
最佳化問題的形式與解一維訊號形式相同
 .
然而二維訊號的最佳化問題不一定為凸優化問題，因此無法以常見凸優化演算法求解。目前發展能求解的演算法有、交替方向乘子法(ADMM)、Bregman L. "A Relaxation Method of Finding a Common Point of Convex Sets and its Application to Problems of Optimization". Dokl. Akad. Nauk SSSR, v. 171, No. 5, 1966, p.p. 1019-1022. (English translation: Soviet Math. Dokl., v. 7, 1966, p.p. 1578-1581)等等。

其他變形
高階微分
總變差的概念為先微分取絕對值後再積分。因此在一些文獻中有使用到二階微分以上的例子。
當處理訊號為離散訊號時，二階差分的形式如下

因此使用二階差分的總變差可定義為

而最佳化問題的形式為


雙邊總變差去噪
雙邊總變差(bilateral total variation)是2004年由S.Farisu和D.Robinson提出的最佳化正規項。該正規項基於總變差，結合雙邊濾波器的概念而成。主要應用於影像復原。

雙邊總變差的形式如下
 ,
其中為處理圖片，與為兩個運算子，分別代表將圖片水平移動個像素與垂直移動個像素。為權重，隨著平移距離遞減。

當和時，圖片的每一個像素與相鄰之下一個像素相減，此時的雙邊總變差與總變差相同。當為其它值時，可以當成是計算斜線方向以及將圖片降採樣後的總變差值。如此達到更好的正規化效果。

根據S.Farisu的實驗結果，雙邊總變差相對於總變差，邊界模糊的情況較少，能夠更好的保留原圖片邊界。

參見
數位訊號處理
最佳化
影像降噪
高斯模糊
中值濾波器
雙邊濾波器
非等向性擴散
非局部平均
三維塊匹配算法

參考文獻