铅垂线

铅垂线（），又称垂线或力线，在大地测量学中指重力作用的方向线。铅垂线与与重力矢量的方向处处相切，该方向又被称为铅垂方向，有时也直接以铅垂线代称。在重力场中，铅垂线通常是曲线而非直线，彼此互不平行，与其经过的重力等位面正交。铅垂线与参考椭球面的法线之间的方向偏差被称为垂线偏差。

在测量学中，铅垂线是测量外业的基准线。

 曲率 
由于在重力场中，除轴线外，同一直线上各点的重力矢量方向通常各不相同。因此，铅垂线通常是一条具有曲率的曲线。通过计算铅垂线的曲率，可以将地形表面上进行的天文测量数据归算到大地水准面上。铅垂线在某点处的曲率  可以通过该点处的重力矢量的大小  及其一阶微分 、 得到：

 推导过程 
设铅垂线的线元矢量为 ，重力矢量为 ，两者间仅相差一个比例因子：

根据微分几何中曲率的计算公式，铅垂线投影在  平面上的曲率  为

上式的二阶微分可由重力位   的偏微分得到：

取沿向上的铅垂方向为  轴正向，建立局部坐标框架。此时重力位  在  平面的微分为零，即

将上式代入曲率  的计算公式，得：

其中，重力位沿  轴方向的微分 . 其中  为重力矢量的大小，即 . 则重力位的微分可替换为重力矢量大小的微分：

同理可证，铅垂线投影在  平面上的曲率  为

由于铅垂线与  轴在上述定义的局部坐标框架中相切，即铅垂线投影在  平面上的曲率为零，再由总曲率的计算公式可以得到：

 参考文献 

Category:测量学