双体模型

在统计力学和图论中，双体模型（dimer model）是二维空间密鋪的模型，也称为骨牌密鋪（Domino tiling，多米诺密鋪）或随机密铺模型（random tiling model）。这也是平方格子的完美匹配。
缩略图|8x8平方骨牌密鋪

 介绍 
若有  平方格子G、以及 把骨牌，覆盖数量或密铺数量是

K是G的邻接矩阵。 Z也是统计力学的配分函数。

例如：

 格子：是斐波那契数列 
，可以使用普法夫值计算Z 

若G是环面，则

。

其中Z依赖同调、C是卡塔兰常数。右|缩略图|疊蓆密鋪

 阿兹特克钻石与北极圈现象 
Z也依赖格子的边界（参看）。阿兹特克钻石表示所谓的「北极圈的现象」（Arctic circle phenomena），即边界看起来很同质（冰冻地区），但是中间的“北极圈”不同质（非冰冻地区）。可以使用高度函数解释这个现象。

这些文章有更多阿兹特克图：

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html

 高度函数 
一个密铺定义一个0微分形式（函数）：

s是自旋（参看易辛模型）、v是顶点。那么可以定义一个1-形式：

这个形式是闭形式。注意上面的形式不等于0因为G是二分图。也定义密铺函数

若双体e存在，，不然等于0。高度差函数是

这个函数定义一个的随机函数。这也是闭形式。的确威廉·瑟斯顿表示了若真的是密铺函数，这是一个必要条件。h是高度函数。

NxN平方格子的高度函数在中间逼近O(N)。但是阿兹特克钻石的高度函数逼近h的平均值。的确，CKP定理说h最小化一个熵（或热力学自由能）的泛函（变分法）：

 共形场论 

 高斯自由场 
双体模型的缩放极限（即高度函数的缩放极限是高斯自由场），高斯自由场是一种二维布朗运动。所以成为二维纯量场。

若G是一定的加权图，K的缩放极限是反全纯导数 。 若

f是“反全纯函数”。再说 f 是调和函数（和谐函数）。这是因为是调和矩阵（harmonic matrix）。

非冰冻地区描述一个极限形（limit shape），比如这张文章描述一个心脏线：（跟代数几何有关）。高斯自由场也许描述这些极限形。2020年这还是未解决的问题。

数学家知道极限形满足一个类似伯格斯方程（）的椭圆型偏微分方程。这些极限形可以相似极小曲面的魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化。

 传播子 
邻接矩阵的反函数是一种格林函数。

是传播子（量子场论）。 可以表示这等于狄利克雷问题的核子

由于维克定理，

 相关条目 
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 Fisher格子：参看韩文版图（https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%A9%EC%B2%B4_%EB%AA%A8%ED%98%95）

 参考文献 

 阅读 

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Category:统计力学
Category:图论