上昇時間

在電子學中，若要描述一電路在電壓（或电流）阶跃函数下的反應，可用上昇時間（rise time）表示。上昇時間是信號從特定低準位上昇到特定高準位需要的時間，值可以用相對參考輸入的比率例如,  and .或是百分比例如,  and .來表示。在模拟电路中，其較低百分比及較高百分比多半會是輸出阶跃高度的10%及90%（或及）例如,  and .。不過，也常會使用其他的值例如 有提到：「有些應用會量測5%到95%的上昇時間，或是1%到99%的上昇時間。」若是在控制理論中，依照，上昇時間定義為「響應從終值的上昇到所需要的時間」，若是欠阻尼的二階系統，常會以0%至100%的上昇時間為準，若是臨界阻尼系統，則會是5%至95%的，過阻尼系統會是10%到90%的上昇時間精確來說，有提到：「上昇時間是從終值的x%上昇到y%需要的時間。若是過阻尼控制系統，多半會使用0%至100%的上昇時間，若是欠阻尼系統 (...) 多半會使用10%至90%的上昇時間。」。不過過阻尼二階控制系統使用0%至100%的上昇時間是不正確的，因為此定義下的上昇時間會是無限大。類似RC電路上昇時間的例子。在的第二版也有類似的文字。。依照，上昇時間可以用在階躍上昇或是階躍下降的階躍響應，不過階躍下降的場合，有時也會稱是下降時間，常用 表示。仍是依照的定義，
簡介
上昇時間是高速電子電路中重要的類比參數，可以量測在高速輸入信號時，系統響應的能力依照「若要複製階躍函數或是方波的上昇緣，最重要的參數就是上昇時間，一般是量測10%至90%之間的時間，另一個則是过冲。」，依照「放大器在方波響應下，最重要的二個參數是上昇時間以及倾斜百分比。」。針對電路、產生器、資料量測及傳輸設備的上昇時間，已有許多的方法可以進行縮減。這些縮減也開始了更高速電子元件或電路的研究，以及研究如何減少電路中的雜散元件（多半是電感及電容）。不過在高速電子學的領域之外，有些應用會希望有較長的上昇時間，例如燈光的，其上昇時間較長會延長燈泡的壽命，或是用數位信號控制，較長的上昇時間表示流經雜散電容的量會比較少，因此耦合產生的噪音也會比較少。。

影響上昇時間的因素
針對給定系統的輸出，其上昇時間和輸入信號的上昇時間有關，也和系統特特性有關參考及級聯模組的上昇時間章節。

例如，電阻性電路的上昇時間主要會和雜散電容及雜散電感有關。因為所有電路都不只有电路性的元件，也會有電容性或電感性的元件，在負載到達穩態之前，會有電壓及（或）電流的延遲。若是純RC電路，輸出的上昇時間（10%至90%）約是電阻值（單位為歐姆）和電容值（單位為法拉）乘積的2.2倍，參考、中的範例，或是一階低通RC電路章節。

其他定義
有關上昇時間，也有其他和不同的定義，偶爾會出現：可參考 及。。這些定義的差異不只是參考準位的不同，也有些有不同的算法。例如有一種上昇時間的定義是考慮階躍函數響應50%時的切線，再繪圖計算和X軸的截距得到上昇時間，偶爾會用到這種定義參考及.。另一種定義是由引入參考，用到概率论及统计学的概念。考慮階躍響應 ，重新定義傳播延遲 為一次导数的矩，也就是

最後，用以下的二次矩來定義上昇時間

 典型系統的上昇時間 

符號及標示
所有分析用到的符號及假設條列如下：

根據，定義為低準位的百分比，為高準位的百分比，參考基準都以要量測上昇時間信號的參考信號為準。
是待分析系統的輸出到達穩態值的時間，而是輸出到達穩態值的時間，兩者單位都是秒。
是待分析系統的上昇時間，單位也是秒。依照定義

為待分析系統較低截止頻率（-3 dB點）的值，單位為赫兹。
為待分析系統較高截止頻率的值，單位也是赫兹。
是待分析系統在時域下的冲激响应。
是待分析系統在頻域下的频率响应。
带宽定義為

因為較低的截止頻率往往遠小於較高截止頻率，因此

所有分析的系統，其頻率響應都延伸到（低通系統），因此 
。

為了簡化起見，所有「計算上昇時間的簡單範例」章節中分析的系統都是增益為1的电路，所有信號都假設是電壓：輸入是伏特的阶跃函数，因此

是特定二階微分方程的阻尼比，則是自然頻率。

 計算上昇時間的簡單範例
此章節的目的是計算一些簡單系統階躍響應的上昇時間。

 高斯響應系統 
系統具有高斯響應的條件是其頻率響應特徵如下

其中為常數參考及.，和高截止頻率有以下的關係：

即使這類的頻率響應無法用因果濾波器實現根據，像是中所提到的。也簡單說明此事實。其用途是因為其系統特性可以用多個一級低通滤波器級聯連結而得，其精度會隨著個數增加而變好參考, 及.。對應的冲激响应可以用频率响应的反傅里叶变换計算而得。

直接代入階躍響應的定義

為了要確認系統由10%上昇到90%需要的時間，需要求解以下方程：

利用误差函数的定義，可以找到的數值，因為,

因此

Compare with .

一階低通RC電路
針對一階低通RC電路也稱為「單極點濾波器」，例如，10%至90%的上昇時間和網路時間常數成正比：

比例常數可以用輸入信號為的阶跃函数時，系統的阶跃反應而得：

求解時間

最後可得

而及滿足以下條件

求解方程可得和的解析式

上昇時間和時間常數成正比比較、 或的內容：

另外，根據

則

因為上截止頻率等於頻寬

另外，若考慮20%至80%的上昇時間，會變成：

一階低通LR電路
等於一個簡單的一階低通RL電路，其10%至90%的上昇時間和電路時間常數成正比。其和RC電路的差異只在於不同電路中時間常數的表示方式不同。因此可得到下式

 阻尼二階系統 
根據，控制系統中欠阻尼系統的上昇時間定義為輸出從0%到達終值100%的時間。二階欠阻尼系統的上昇時間如下See .：

沒有零點的二階系統，其階躍響應下的正規上昇時間可以二次函数近似如下：


中是阻尼比，是電路的自然頻率。
 級聯模組的上昇時間 
考慮個非交聯的級聯模組組成的系統，每一個的上昇時間為,  ，其階躍響應沒有过冲，假設第一個模組的輸入信號的上昇時間為."表示「來源」，可能是电流源或电压源。其輸出的上昇時間為

依照，此結果可以用中心极限定理來說明，已由證明這份一頁的論文沒有任何計算。列出了一個他稱為詞典的表，將电子工程及概率论的概念並排。關鍵是使用拉普拉斯变换。接著他提到，依照詞典中這些概念的結果。計多級聯模組的階躍響應可以對應中心极限定理，並且提到：「這是重要的實務結果，前提是電路沒有過衝，其反應時間會隨著級聯個數而增加，約和個數的均方根成正比。」.也可以參考及.。此問題的詳細分析可以參考,由引用，他指出是第一個用比較嚴謹的基礎證明上述公式的人參考.。
 相關條目 
下降時間
频率响应
冲激响应
階躍響應
安定時間

腳註

 參考資料 

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