圆均匀分布

在概率论与方向统计学中，圆均匀分布（）是单位圆上均匀的概率分布。

 描述 
圆均匀分布的概率密度函数是：

用圆变量来表示，圆均匀分布的n（n>0）阶圆矩都为0。

 平均值的分布 
从一个圆均匀分布取得的个测量值的样本平均为：



其中"Transmit beamforming for radar applications using circularly tapered random arrays - IEEE Conference Publication". ieeexplore.ieee.org. Retrieved 22 April 2018.



平均长度



平均角度



圆均匀分布的样本平均的取值集中在0的附近，随着N增大而更加集中。均匀分布的样本平均的分布为Jammalamadaka, S. Rao; Sengupta, A. (2001). Topics in Circular Statistics. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-3778-3.：



其中是的使得与为常数的子空间。角度分布是均匀的



的分布为：



缩略图|360x360像素|圆均匀分布的样本平均的分布（N=3），蒙特卡洛模拟，1万点。
其中是0阶贝塞尔函数。上面的积分没有已知的解析解，也很难作近似估计，因为被积函数有大量震荡。

对于某些特殊情况，上面的积分式可以求出来，例如N=2：

当N很大时，平均值的分布可以由方向统计学的中心极限定理确定。由于角度是均匀分布的，每个角的正弦和余弦服从分布：

其中或。由此可得平均值为0，均值为1/2。根据中心极限定理，在大N极限下，与作为大量独立同分布的随机变量的和，近似于均值为0方差为1/2N的正态分布。

 熵 
均匀分布的微分熵就是



其中是长度为的区间。这是圆分布的熵的最大值。

 参考文献 

Category:连续分布
Category:方向统计学