经验风险最小化

经验风险最小化（，縮寫：ERM）是统计学习理论里的一项原则，该原则下有一系列学习算法 ，经验风险最小化用于为这些算法的性能提供理论上的界。核心思想是，人們无法确切知道算法在实际中的运行情况（真正的“风险”），是因为不知道算法将在其上运行的数据的真实分布，但借助经验风险最小化，可以在一组已知的训练数据（“经验”风险）上衡量其性能。

 背景 
以下情况是许多有监督学习问题的一般设置。存在两个空间，输入空间和输出空间，目标是学习（拟合）一个函数 （通常称为假设 ），这个函数在给定，输出一个对象  。为此可以使用一个包含 个例子的训练集，其中是输入， 是希望从中得到的相应输出 。

更正式地说，可假设和服从联合概率分布  ，并且训练集包括个实例IID地从 抽取。请注意，联合概率分布的假设可以对预测中的不确定性进行建模（例如，来自数据中的噪声），因为不是关于的确定性函数 ，而是在固定 时具有条件分布的随机变量 。

还可假定给定非负实值损失函数 来衡量预测与真实结果的差异。则假设的风险定义为损失函数的期望值 ：



理论上常用的损失函数是0-1损失函数 ：  。

学习算法的最终目标是在固定函数类中找到风险最小的假设：



 经验风险最小化 
通常，无法计算风险，因为学习算法不知道分布（这种情况称为无知学习）。但是可以通过对训练集上的损失函数取平均值来计算一个近似值，称为经验风险：



经验风险最小化原理V. Vapnik (1992). [http://papers.nips.cc/paper/506-principles-of-risk-minimization-for-learning-theory.pdf Principles of Risk Minimization for Learning Theory.] 指出学习算法应选择一个假设将经验风险降到最低：



因此，由ERM原理定义的学习算法在于解决上述优化问题。

 性质 

 计算复杂度 
对于具有0-1损失函数的分类问题，即使对于像线性分类器这样的相对简单的函数类，经验风险最小化也被认为是NP难题。 V. Feldman, V. Guruswami, P. Raghavendra and Yi Wu (2009). Agnostic Learning of Monomials by Halfspaces is Hard. (See the paper and references therein)但是，当最小经验风险为零（即数据是线性可分离的）时，可以有效解决。

在实践中，机器学习算法可以通过对0-1损失函数（例如SVM的铰链损失）采用凸近似来解决该问题，这种方法更容易优化，或者对分布进行假设 （因此不再是上述结果适用的不可知论学习算法）。

 參見 

 最大似然估计 
 M估计器

 参考文献 

 扩展阅读 



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