表面張力波

的漣漪

表面張力波（）是延著液體相邊界行進的波，其動力學及相速度是由表面张力的效應所決定，在水面上的表面張力波常稱為漣漪。

表面張力波是自然界常見的現象，其波長多半在數公分以內，而相速度約0.2-0.3公尺/秒。

若液體表面的波是受到表面张力、重力及液體慣性的影響，其波長會比較長，稱為重力-表面張力波（gravity–capillary waves）。一般的重力波波長會更長。

漣漪可能是在開放水體中由微風所產生，在開放海域中，由風產生的小漣漪可能會造成大的波濤。

色散关系
色散关系說明在波當中波长和頻率之間的關係。色散关系會出現在只受表面張力影響的純表面張力波中，也會出現在由重力和表面張力影響的重力-表面張力波中。

一般的表面張力波
在表面張力波中的色散关系是

其中ω是角频率，σ是表面张力，ρ是較重流體的密度，ρ'''是較輕流體的密度，k是波數。其波长為 

若在流體和真空中的邊界，其色散关系簡化為是

重力-表面張力波

一般而言，水也會受到重力的影響，因此稱為重力-表面張力波。若是無限深度的流體，其色散關係如下Lamb (1994), §267, page 458–460.Dingemans (1997), Section 2.1.1, p. 45.Phillips (1977), Section 3.2, p. 37.：

其中為重力場強度，和分別是二種流體的密度。第一項的因子是阿特伍德数。

重力波的範圍
若波長較大（波數較小），主要會受第一項，重力波的影響。

若到極限時，波的群速度會是相速度的一半。若跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在後面出現，成長，最後會在波群的前面消失。

表面張力波範圍
若波長較小（波數較大，例如在水-空氣介面中，波數到達2 mm)，是表面張力波，情形恰好相反。跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在前面出現，成長，最後會在波群的後面消失。在極限時，群速度會是相速度的1.5倍。
相速度的最小值

在上述兩種極端條件之間，存在一個點，表面張力波產生的色散會和重力產生的色散相抵消。在該波長下，群速會等於相速，沒有色散。在該波長下，重力-表面張力波的相速有極小值。若波長遠大於臨界波長λm的波主要會受到表面張力影響，波長遠大於該值的波主要會受到重力影響。波長和最小相速度cm''的關係如下：

針對空氣–水的界面，約為，為.。

若小石頭或是水滴落入液面，漣漪會以同心圓往外擴散，最後水面會靜止。漣漪的同心圓會出現焦散，對應最小相速

原理
理查德·費曼曾提過：「[水波]是每一個人都可以看到的現象，也在基礎教育中用來做為波的例子[......]，但也是最壞的例子，[......]波可能會出現的複雜問題，在水波中都可可能出現。」理查德·費曼, R.B. Leighton, and M. Sands (1963). '费曼物理学讲义.'' Addison-Wesley. Volume I, Chapter 51-4.。在重力-表面張力波的色散關係中，也會有類似的情形在Safran (1994)中有更細節的敘述 for a more detailed description.。

一般會假設重力-表面張力波的能量來源有三個：重力、表面张力及流體動力學。前兩個是勢能。在有關重力的部份，一般分析會假設流體的密度是定值（不可壓縮性），也會假設重力是定值（水波的高低還不足以造成重力顯著變化的程度）。有關表面張力，會假設表面的高度變化很小，針對一般水波，上述二個假設都可以成立。

能量來源的第三個是流體的动能，這部份最複雜，需要用流體動力學的技巧。此處會再假設不可壓縮性（若波的速度遠小於介質中聲速時成立），流場本身是保守向量场，因此流位流。

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腳註

參考資料

外部連結

Capillary waves entry at sklogwiki 

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