等諧數列

等諧数列，又名調和数列（英文：harmonic sequence 或 harmonic progression），是数列的一种。在等諧数列中，任何相邻两项倒數的差相等，该差值的倒數称为公諧差（common harmonic difference）。

例如数列：



就是一个等諧数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公諧差都等于 。

 性質 

如果一个等諧数列的首项記作 ，公諧差記作 ，那么该等諧数列第  项  的一般項为：

換句話說，任意一個等諧数列 都可以寫成

在一個等諧數列中，給定任意兩相連項  和  ，可知公諧差

給定任意兩項  和  ，則有公諧差

此外，在一個等諧数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之倒數和，為原來該項倒數的兩倍。舉例來說，。

更一般地說，有：

證明如下：

證畢。

從另一個角度看，等諧數列中的任意一項，是其前一項和後一項的調和平均：

此結果從上面直接可得。

如果有正整數 ，使得 ，那么则有：

證明如下：

由此可將上面的性質一般化成：

其中  是一個小於  的正整數。

給定一個等諧數列 ，則有：

  是一個等諧數列。
  是一個等差數列。

 等諧数列和 

一個等諧數列的首  項之和，稱為等諧数列和（sum of harmonic sequence）或調和級數（harmonic series），記作 。

舉例來說，等諧數列 的和是  = 。

等諧數列並沒有簡單的求和公式。但使用以下反常積分，可對數列和以數值積分作估算：

公式證明如下：

最後一步，使用了等比數列的求和公式。

使用上面的例子，對於數列 ：

結果相等。

從這公式中容易看出，等諧級數是發散的。

 等諧数列积 

一個等諧數列的首  項之積，稱為等諧数列積（product of harmonic sequence），記作 。

舉例來說，等諧數列 的積是  = 。

等諧数列積的公式可以Γ函數表示：

證明如下：

這裡使用了等差數列的求積公式。

使用上面的例子，對於數列 ：

結果相等。

 参见 
 序列
 數列
 級數
 調和級數
 調和平均
 等差數列
 等比數列

 参考文献 

 Weisstein, Eric W. "Harmonic Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html .
 Yadav, A., Pi, H, G., Mukhopadhyay, S., et al. "Harmonic Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/harmonic-progression/ .

Category:序列