高斯引理 (多項式)

在代数學中 ，高斯引理Article 42 of Carl Friedrich Gauss's Disquisitiones Arithmeticae (1801)以高斯命名，是关于整係數多项式的命題，或者更一般地说，是关于一个唯一分解整環的敘述。 

高斯的引理断言两个本原多項式的乘積仍是本原多項式（本原多項式是指：係數的最大公因數為1的整係數多項式）。 

高斯引理有一個推论，有时也被称为高斯引理。其斷定一個本原多项式在整数上是不可约的 ，若且唯若它在有理数上是不可约的。  

 整係數多項式版本 
當一個整係數多項式 的係數的最大公因數是1，我們稱其為本原多項式。那麼有以下高斯引理：

高斯引理 (本原版本). 兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。

证明： 

以下以反證法證明，假設存在不是1，整除乘積 

設整係數多項式都是本原的，並反設不是本原多項式。 

於是是非本原的整係數多項式，因此可選整除所有係數的質數。 

但皆是本原的，從而可分別選定為滿足的最小整數（i.e.從0項開始出發）。現在我們知道的項係數是    （乘積裏面先於都是被整除，所以只剩）根據假設，該項係數應該被整除，矛盾，故得證。   

高斯引理 (不可約版本). 如果一非常數整係數多項式在有理係數多項式環內可約，則他在整係數多項式環內也可約。   

证明：   

設是一在內可約的非常數整係數多項式。於是可取兩個非常數的有理係數多項式使得。   

透過適當選取整數，可以假設皆是本原多項式（當然也就是整係數多項式）。   

由上一個引理，也是本原多項式。於是是的係數的最大公因數，故是個整數。   

現在，我們有且是整數，於是也就證明了在內也可約。   

 參考資料 

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