迹不等式

在数学中，有很多关于希尔伯特空间上的矩阵和线性算子的不等式。而迹不等式就是与矩阵的迹有关的算子不等式。E. Carlen, Trace Inequalities and Quantum Entropy: An Introductory Course, Contemp. Math. 529 (2010) 73–140  R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, (1997).B. Simon, Trace Ideals and their Applications, Cambridge Univ. Press, (1979); Second edition. Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2005).M. Ohya, D. Petz, Quantum Entropy and Its Use, Springer, (1993).

 基本定义 
令Hn表示n×n埃尔米特矩阵空间， Hn+表示全体n×n半正定埃尔米特矩阵，Hn++表示全体n×n正定埃尔米特矩阵。对于无限维希尔伯特空间上的算子，则需要迹类算子或埃尔米特算子，简单起见，此处我们只讨论矩阵。

对于任意实值函数  上的一个区间  ⊂ℝ，通过在特征值上定义函数和相应投影乘积，可以在任意特征值  在的算子上定义 矩阵函数  如下： 

  假设有谱分解 

 算子的单调性 
定义在区间  ⊂ℝ上的函数  是算子单调的 ，如果对于∀，∀  且特征值在 中，有，



这里  表示  ，即是半正定的。 注意，   不是 算子单调的!

 算子的凹凸性 
函数  是 算子凸的 如果对任意  和任意  与特征值在 的一对矩阵，在 时有



由于  和  有的特征值在 中，注意矩阵  特征值也在 中。

函数  是 算子凹的 如果  是算子凸的，即上面关于  不等式的符号反过来也成立。

 联合凸性 
定义在区间  上的函数是  联合凸的  ，如果对任意  和任意 且特征值在  中，和任意  且特征值在 中，在  时有



一个功能 是  如果 是联合凸，即不平等以上为  是相反的。

函数   是 算子联合凹的 如果 − 是联合凸的，即上面关于  不等式符号反过来成立。

 迹函数 
给定函数 :ℝ→ℝ，相应地可在 Hn 上定义 迹函数



其中  有特征值  ，Tr表示算子的 迹 。

 迹函数的凸性和单调性 
设 :ℝ→ℝ连续，  是任意整数。 若  是单调递增的，则迹函数  在 Hn上也是单调递增的。

类似，如果  是 凸的，则迹函数 在 Hn上也是凸的，它是严格凸的如果  严格凸。

证明和讨论可参考E. Carlen, Trace Inequalities and Quantum Entropy: An Introductory Course, Contemp. Math. 529 (2010) 73–140   中。

 參考文獻 

Category:不等式
Category:矩陣論
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