有序向量空间

在数学中，有序向量空间（ordered vector space）是带有偏序的向量空间，并且偏序与向量空间的运算是相容的。又称偏序向量空间（partially ordered vector space）。

 定义 
给定实数上的向量空间以及集合上的预序，如果对中任意的以及非负实数，以下公理成立




则有序对称为预序向量空间（preordered vector space）。若还是偏序，则称为有序向量空间。这两条公理说明，平移与正的位似变换是序结构的自同构，并且映射是到对偶序结构的同构。有序向量空间关于其加法运算构成有序群。

 正锥 
给定预序向量空间，子集是一个凸锥，称为的正锥（positive cone）。若是有序向量空间，则，因此还是真锥。

若是实向量空间，是的真凸锥，则存在唯一的偏序使得成为有序向量空间并且。这个偏序由以下方式给出

当且仅当

因此，向量空间上（与向量空间结构相容）的偏序与的真凸锥之间存在一一对应。

 例子 

 实数关于通常的顺序构成有序向量空间。
 以下关系都是上的偏序，且按照从弱到强的顺序排列。
 字典序：当且仅当或。这是一个全序。正锥由条件或给出。用极坐标表示，正锥就是由角度满足的点再加上原点组成。
 当且仅当且（这实际上就是两个偏序集的乘积序）。这是一个偏序。正锥由给出。在极坐标中就是，再加上原点。
 当且仅当或，也就是两个的直积的反射闭包。正锥由或给出。在极坐标系中，就是，再加上原点。

只有第二个序是闭集（作为的子集）。

 仿照的情况，可以在上定义类似的偏序。例如，仿照上面提到的第二个序，可以定义：
 当且仅当
 里斯空间是有序向量空间，并且还是格。
 上的连续函数组成的空间，当且仅当对任意。

 备注 
偏序向量空间中的区间是凸集。设，由上面的两个公理可以得出：如果，则。

 参见 

 偏序空间
 里斯空间

 参考文献 

 尼古拉·布尔巴基; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; .


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