輸入-狀態穩定性

輸入-狀態穩定性（Input-to-state stability）簡稱ISSE. D. Sontag. Input to state stability: basic concepts and results. In Nonlinear and optimal control theory, volume 1932 of Lecture Notes in Math., pages 163–220, Berlin, 2008. Springer，是在有外部輸入時，非線性的控制理論中探討其穩定性的方式。簡單來說，控制系統具有輸入-狀態穩定性也就是指在沒有外在輸入時，系統會漸近穩定，而且在足夠長的時間後，系統軌跡會限制在和輸入大小有關的函數中。

輸入-狀態穩定性之所以重要，是因為此概念連接了輸入-輸出穩定性以及狀態空間法，這二個都是控制系統研究者常常使用的工具。輸入-狀態穩定性的標示方式是由在1989年開始使用  Eduardo D. Sontag. Smooth stabilization implies coprime factorization. IEEE Trans. Automat. Control, 34(4):435–443, 1989.。

 定義 
考慮非時變常微分方程，其形式如下

其中是勒贝格测度有本質確界的外部輸入，且 是利普希茨連續函數。這可以確保系統()有唯一绝对连续的解。

若要定義ISS以及其他相關的性質，需要引入以下的分類。令（K類函數）為連續遞增函數，且形成的集合，令為無界函數，再令（KL類函數）為若在所有的都成立，而且針對所有的，連續，且嚴格遞減至0。

系統()稱為在原點全域漸近穩定（0-GAS），若對應的零輸入系統

是全域李雅普诺夫稳定，也就是存在
使得針對所有的初值 
以及任意時間，以下有關()解的估計都有效＞：

系統()稱為輸入-狀態穩定性（ISS）若存在函數 
且使得針對所有初值，所有可行的輸入以及任意時間，以下的不等式都成立

上述不等式中的函數稱為增益（gain）。

很明顯的，ISS系統是0-GAS系統，也有有界輸入有界輸出穩定性（若令輸出等於狀態），不過0-GAS系統不一定是ISS系統。

也可以證明若在時，，則在時，。

 輸入-狀態穩定性質的特點 
為了要瞭解輸入-狀態穩定性，需要用其他的穩定性術語來重新說明。

系統()為全域穩定（GS），若存在 
，使得對於、及，下式都成立

系統()滿足漸近增益（AG）特性，若存在，使得對於, ，下式都成立

以下的描述都是等效的
Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. New characterizations of input-to-state stability . IEEE Trans. Automat. Control, 41(9):1283–1294, 1996.：

()有ISS（輸入-狀態穩定性）
()是GS（全域穩定），且有AG（漸近增益）特性
()是0-GAS（在原點全域漸近穩定），且有AG（漸近增益）特性

在論文中可以找到以上論述的證明，以及許多輸入-狀態穩定性的特性。

 ISS-李亞普諾夫函數  
ISS-李亞普諾夫函數是驗證輸入-狀態穩定性時的重要工具。

光滑函數是系統()的ISS-李亞普諾夫函數，若, ，以及[[
正定函數 (實值連續可微函數)|正定函數]]  ，使得下式成立：

以及
，下式成立：


函數稱為李亞普諾夫增益（Lyapunov gain）。

若系統()沒有輸入（也就是），則最後一式可以簡化如下



因此也是（一般定義的）李亞普諾夫函數。

E. Sontag和Y. Wang得到的重要結論是系統()為ISS，若且唯若存在光滑ISS李亞普諾夫函數Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. On characterizations of the input-to-state stability property . Systems Control Lett., 24(5):351–359, 1995.。

 例子 
考慮一系統


定義候選的ISS-李亞普諾夫函數如下



選擇李亞普諾夫增益為
. 

可以得到在的條件下，下式成立



可得是該系統的ISS-李亞普諾夫函數，李亞普諾夫增益為。

 其他相關概念 
 積分輸入-狀態穩定性（iISS） 
系統()為積分輸入-狀態穩定性（integral input-to-state stable，iISS）若存在函數及，使得針對所有初值，所有可行的輸入及任意時間下，以下不等式都會成立：

積分輸入-狀態穩定性（iISS）系統和ISS系統不同，若系統是iISS系統，在有界輸入下其軌跡仍可能會成長到無限大。例如，在所有，令，且令，則估計()會變成以下的形式

隨著，等號右側會趨近無限大 。

 局部輸入-狀態穩定性（LISS）  

局部輸入-狀態穩定性也是一種輸入-狀態穩定性的特性。系統()為局部輸入-狀態穩定性（locally ISS、LISS）若存在常數、函數 及使得：針對所有，所有可行的輸入及任意時間，下式都成立

可以觀察到0-GAS系統會有LISS系統的特性Lemma I.1, p.1285 in Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. New characterizations of input-to-state stability. IEEE Trans. Automat. Control, 41(9):1283–1294, 1996。
 其他的穩定性  
也有其他人提出和輸入-狀態穩定性有關的穩定性特性，例如增量輸入-狀態穩定性（incremental ISS）、輸入至輸出動態穩定性（input-to-state dynamical stability、ISDS）Lars Grüne. Input-to-state dynamical stability and its Lyapunov function characterization. IEEE Trans. Automat. Control, 47(9):1499–1504, 2002.、輸入至輸出實務穩定性（input-to-state practical stability、ISpS）、輸入至輸出穩定性（input-to-output stability、IOS）Z.-P. Jiang, A. R. Teel, and L. Praly. Small-gain theorem for ISS systems and applications. Math. Control Signals Systems, 7(2):95–120, 1994.等。

 時滯系統的ISS 
考慮非時變的时滞微分方程

其中是系統()在時間的狀態，及需滿足特定假設，以確保系統()的解存在且唯一。

系統()為ISS，若且唯若存在函數及，使得針對所有，所有可行的輸入，在任意時間下，下式都成立

在時滯系統的ISS理論中，提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件：透過ISS Lyapunov-Razumikhin函數 Andrew R. Teel. Connections between Razumikhin-type theorems and the ISS nonlinear small gain theorem. IEEE Trans. Automat. Control, 43(7):960–964, 1998.及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函P. Pepe and Z.-P. Jiang. A Lyapunov-Krasovskii methodology for ISS and iISS of time-delay systems. Systems Control Lett., 55(12):1006–1014, 2006.。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理Iasson Karafyllis. Lyapunov theorems for systems described by retarded functional differential equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 64(3):590 – 617,2006.。

 其他類型系統的輸入-狀態穩定性 
以非時變常微分方程為基礎的輸入-狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中，例如時變系統 Y. Lin, Y. Wang, and D. Cheng. On nonuniform and semi-uniform input-to-state stability for time-varying systems. In IFAC World Congress, Prague, 2005.、混合系統C. Cai and A.R. Teel. Characterizations of input-to-state stability for hybrid systems. Systems & Control Letters, 58(1):47–53, 2009. D. Nesic and A.R. Teel. A Lyapunov-based small-gain theorem for hybrid ISS systems. In Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico, Dec. 9-11, 2008, pages 3380–3385, 2008.。近來也有人提出，將輸入-狀態穩定性的一些概念擴展到無限維系統的想法Bayu Jayawardhana, Hartmut Logemann, and Eugene P. Ryan. Infinite-dimensional feedback systems: the circle criterion and input-to-state stability . Commun. Inf. Syst., 8(4):413–414, 2008.Dashkovskiy, S. and Mironchenko, A. Input-to-state stability of infinite-dimensional control systems. In Mathematics of Control, Signals, and Systems (MCSS),2013Iasson Karafyllis and Zhong-Ping Jiang. Stability and stabilization of nonlinear systems. Communications and Control Engineering Series. Springer-Verlag London Ltd., London, 2011.F. Mazenc and C. Prieur. Strict Lyapunov functions for semilinear parabolic partial differential equations. Mathematical Control and Related Fields, 1:231–250, June 2011.。

參考資料

Category:非線性控制