在圆柱和球坐标系中的del

下面是常用于正交中的一些向量微积分公式。

 注释 

 本文对球坐标使用标准符号ISO 80000-2，它取代了ISO 31-11，（部分其他来源可能有着颠倒θ和φ的定义）：
极角表示为θ：它是在z轴与连接原点和目标点的径向向量之间的角度。
方位角表示为φ：它是在x轴与径向向量在xy面上的投影之间的角度。
 函数可以用于替代数学函数。这是由于它的定义域和像的缘故，经典arctan函数的像为，而atan2定义的像为。

 坐标转换 

+ 在直角、圆柱和球坐标间的变换 从 直角 圆柱 球 到 直角    圆柱    球   

 单位向量转换 

+ 在直角、圆柱和球坐标系间的单位向量转换，从目的坐标的角度。 直角 圆柱 球 直角    圆柱    球   

+ 在直角、圆柱和球坐标系间的单位向量转换，从源坐标的角度。 直角 圆柱 球 直角    圆柱    球   

 Del公式 

+ 在直角、圆柱和球坐标下的del算子的表格 运算 直角坐标  圆柱坐标  球坐标 ，这里的θ是极角而是方位角  向量场     梯度     散度     旋度     拉普拉斯算子     向量拉普拉斯算子     物质导数    张量散度     微分位移     微分正规面积     微分体积    

本页对极角采用对方位角采用，这是在物理学中常用的符号。某些来源在这些公式中对方位角采用对极角采用，这是常用数学符号，如果需要这种数学公式，可对换上表公式中的和。

 非平凡的演算规则 




  （del的拉格朗日公式）


 直角坐标系推导 

File:Nabla cartesian.svg

和的表达式可以同理得出。 <p>
註：第一式中的是在時的量值，並非值乘上。以下圓柱座標、球座標的推導中亦然。

 圆柱坐标系推导 

File:Nabla cylindrical2.svg

 球坐标系推导 

File:Nabla spherical2.svg

 单位向量转换公式 
坐标参数u的单位向量以如下方式定义，u的小的正值改变导致位置向量在方向上的改变。因此：



这里的s是弧长参数。

对于两组坐标系和，依据链式法则： 

现在，使除了一个之外的所有并在两边除以对应的坐标参数的微分，得到：

 参见 
 Del算子
 正交坐标系
 曲线坐标系
 在圆柱和球坐标中的向量场

 引用 

 外部链接 
 Maxima Computer Algebra system scripts to generate some of these operators in cylindrical and spherical coordinates.
 Curl, Divergence, and Gradient in Cylindrical and Spherical Coordinate Systems.

Category:向量分析
Category:坐标系