无穷小应变理论

无穷小应变理论（infinitesimal strain theory）也稱為无限小应变理论，是连续介质力学中描述固體形變的數學分析法，適用在其形變量遠小於物體尺寸（無窮小量）的情形，因此若是均質材料，可以假設材料每一點的結構性質（密度及剛度）都相等，不會隨變形而不同。

在此假設下，連續介质力學的方程可以簡化。此作法也稱為是小形變理論、小位移理論或小位移梯度理論。无穷小应变理论和有限应变理论的假設恰好相反，後者假設形變量沒有遠小於物體尺寸。

无穷小应变理论常用在土木工程及機械工程中，其中會進行結構的，而材料是用強度較高的混凝土及钢製成，而結構設計的目標也是在一般結構荷重下，希望其形變量可以降到最小。不過若分析的結構物是較細較薄，較容易變形的元件（例如桿、平板及薄殼），用无限小应变理论來分析就不可靠了。
無穷小應變張量

在連續體的無限小變形中（位移梯度張量遠小於1，也就是），可以用有限應變理論中的任何一個有限應變張量（例如拉格朗日有限應變張量，或是尤拉有限應變張量）進行線性化。在線性化中，可以省略有限應變張量中的二次項或是非線性項，因此可得

或

以及

或

線性化意味著連續體中特定點的物質坐標（material coordinate）和空間坐標（spatial coordinate）差異很小，拉格朗日描述和尤拉描述近似相等。因此，物質位移梯度張量和空間位移梯度張量的分量也相近相等。可得

或

其中 是無穷小應變張量（也稱為柯西應變張量、線性應變張量、小應變張量）的分量。

或者使用不同的表示方式：

進一步來說，因為形變梯度可以表示成 其中是二階單位張量，可得

另外，根據拉格朗日有限應變張量及尤拉有限應變張量的通用表示法，可得

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 參考資料 

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