特徵方程式

特徵方程式（characteristic equation）或輔助方程式（auxiliary equation）為数学名詞，是對應階微分方程或遞迴關係式的代數方程式。只有線性齊次常系數的微分方程或差分方程才有特徵方程式。考慮一微分方程，其因变量為 ，為常数

其特徵方程式如下

根據其解 可以產生微分方程的通解。而一個線性差分方程

也有其特徵方程式

特徵方程式的根也可以提供動態方程的特性資訊。若是一個自變數為時間的微分方程，其應變數稳定的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程，穩定的充份必要條件是每一個根的绝对值都小於1。針對這兩種系統，若是有复数根，表示其解會振盪。

線性常係數常微分方程的积分求解法是由萊昂哈德·歐拉發現，他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程」有關。後來法國科學家奧古斯丁·路易·柯西及加斯帕尔·蒙日也提及歐拉的特徵方程，而且提到不少細節。
  推導 
考慮常係數的線性齊次微分方程
,

假設 ，而指數函數  的導數是本身的倍數，, ，。因此上式中的每一項都會是  的倍數。若  為特定值，可以讓  的倍數變為0，這樣即可求解齊次微分方程。為了求解 ，可以將  及其導數替換到微分方程中，可以得到
。
因為  不會為零，因此其係數必須為零，可以得到以下的特徵方程式

求解特徵方程式中的 ，可以求得微分方程的通解。例如，若  為3，其通解為 ，其中  為積分常數。

 有關通解的公式 
找到特徵方程式的根 ，就可以找到微分方程的通解。特徵方程式的根可能是实数或複數，可能都是不同的值，也可能會有相同的值（重根）。若特徵方程式的根有相異的實根，另外有  個重根，或是  個複數的根，其解分別為 ,   及 ，因此通解為

例子
以下是常係數的線性齊次微分方程

其特徵方程為

將特徵方程因式分解，可得到

可以看到  的解有一個單根， 以及重根的複數根 ，因此其通解為

其中有常數 。
 相異實根 
根據應用在常係數線性齊次微分方程的叠加原理，若 是特定微分方程的  個線性無關的解，則  也是其解，其中  為任意常數。因此，若特徵方程有相異實根 ，則通解為
。

 重根實根 
若特徵方程式中有重複  次的根 ，可以確定  會是微分方程的解，不過這個解沒有針對其他  的根提供線性獨立的解。因為  為  次重根，可以將微分方程改寫為
.
因為  為其中的一個解，因此可以令通解為以下的形式 ，其中  是待確認的函數。將  代入後可得

其中 。上述的式子應用  次，可以得到

除以  後可得

上述式子若且唯若  是  次的多項式，因此 .。因為 ，因此通解中對應  的解會是

 複數根 
若二階微分方程有共轭复数根  及 ，其對應的通解為 。利用欧拉公式（），可以將通解改寫如下：

其中  和  是係數，不過可能不是實數，而且隨初始條件而不同（因為  是實數， 需要是虛數或是零， 為實數，為了要讓等號右邊為實數）

例如，若 ，可以得到特解 ，另外，若  及 ，可以得到另一個獨立的解 。利用重疊原則，有  複根的常係數線性齊次微分方程，其通解如下：

上述的分析也可以應用在高階微分方程，其特徵方程式中也可能有非實數的共軛根。

 參考資料 

Category:常微分方程