哈特格斯数

在数学特别是公理化集合论中，哈特格斯数（Hartogs number）是一类特殊的基数。它由弗里德里希·哈特格斯（Friedrich Hartogs）在1915年从策梅洛-弗兰克尔集合论中单独导出（没有使用选择公理），用于证明对任意给定的良序集，至少有一个良序集的基数大于它。

然而，要构造哈特格斯数其实并不需要从良序集出发：对任意集合，与之对应的哈特格斯数是不与的任何子集等势的最小序数。如果并非良序的话，我们其实不能说一定是势大于的最小良序集；但是，我们仍然可以确定的势至少不小于——或者说大于等于——的势。从到的映射，被称作哈特格斯函数（Hartogs's function）。

 证明 
由集合论的一些基本定理可以很容易证明哈特格斯数的存在：

令

为所有满足“存在从该序数到集合的单射”的序数组成的类。

首先，我们来证明是集合：

 由幂集公理，是集合。
 再由幂集公理，是集合。（列舉出任意二元關係）
 由分离公理，的所有自反良序子集组成的类是集合（因为它是从中分离得到）。（從任意二元關係選出自反良序的二元關係）
 由替换公理可知，中良序集的序类型(已知每一个严格良序集都对应一个唯一的序数)是集合——该集合正是。

接下来，由于屬於的元素皆是传递集(证明概要: 对于属于  的 ，我们总能构造一个从  到  的单射，该单射来源于从  到  的单射)，而參照传递集的定義，其元素為其子集，那麼便形成單射，於是乎便屬於。因此是序数。更进一步地，不存在从到的单射——否则就会导致的矛盾。最后，也是满足这一性质的最小序数，否则，如果有一序数，那么，也就是说。

而不存在到的单射也就意味着与的任意子集都不等势。

 历史评价 
值得一提的是，在1915年，哈特格斯能够使用的数学工具中既不包括冯·诺伊曼序数也不包括替换公理，因此他的结论是单纯建立在策梅洛集合论上的，导致其与现今的阐述有很大的不同。相反地，他当时考虑的是的良序子集的同构类的集合，以及这一集合上“当且仅当同构于的真前段”的关系。哈特格斯证明了存在一个良序集大于的任意良序子集。（这是历史上第一次真正构造出不可数良序集。）然而，他的真正目的其实是证明基数三分法可以推出（十一年前被提出的）良基定理（进一步则等价于选择公理）。

 参见 
 后继基数（Successor cardinal）
 阿列夫数

 参考文献 



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