立方图

右|缩略图|180x180像素|完全二分图 是立方二分图

在图论中，若一个图的每个顶点度数均为三，则称其为立方图（Cubic graph）、3-正则图或三次图。

彼得森图、汤玛森图等都是立方图。

 对称性 
1932年，首先寻找立方的例子，并收集为。.许多著名的图都是立方对称图，如汤玛森图、彼得森图等。威廉·湯瑪斯·圖特用满足下列性质的最大整数s来对立方对称图进行分类：图的自同构群在其所有长度为s的路径（其中不能有重复的边）组成的集合上作用是传递的。他证明了s最大只能取5，也即s的可能值是1到5。.

图着色与独立集
根据布鲁克定理，除了K4以外的任何连通立方图都可以用至多三种颜色染色。也即，这样的连通立方图至少存在一个包含n/3个顶点的独立集，其中n是该图的顶点数。

根据Vizing定理，任一立方图的只能为三或四。3-边着色又称Tait-着色，Tait-着色方式将边集分割为三个完美匹配。根据每个二分立方图都有一个Tait-着色。

哈密顿回路
关于立方图是否具有哈密顿回路有许多研究。1880年，猜想任一立方多面体图都有哈密顿回路。1946年，威廉·湯瑪斯·圖特提出了的反例，有46个点的。1971年，图特猜想所有的二分立方图都有哈密顿回路。然而Joseph Horton提出了图特猜想的反例，有96个点的。Bondy, J. A. and Murty, U. S. R. Graph Theory with Applications. New York: North Holland, p. 240, 1976.在这之后，又提出了两个反例：。Ellingham, M. N. "Non-Hamiltonian 3-Connected Cubic Partite Graphs."Research Report No. 28, Dept. of Math., Univ. Melbourne, Melbourne, 1981..（目前仍是猜想）将Tait猜想与图特猜想结合起来，称任一二分立方多面体图都有哈密顿回路。当一个立方图有哈密顿回路时，可以使用简洁地表示。

如果从所有阶立方图中随机选取一个，那么它有相当大概率有哈密顿回路：当趋近于无穷时，这个概率趋近于1。.

猜想任一阶立方图最多有（约等于）条不同的哈密顿回路，且给出了极限情况下的例子。.目前为止，得到证明的最佳估计为。.

另见


 参考文献 

 外部連結 

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