拉薩爾不變集原理

拉薩爾不變集原理（LaSalle's invariance principle）也稱為不變集原理（invariance principle）、Barbashin-克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle）或克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Krasovskii-LaSalle principle），是自治动力系统（可能是非線性系統）李雅普诺夫稳定性的判斷準則。
 全域穩定性版本 
考慮以下方程式的系統



其中為符合以下條件的變數向量



若可以找到 函数 ，使下式成立

 針對所有（半負定）

則任何軌跡中聚點（accumulation point）的集合都在內， 是其完整軌跡完全在集合的聯集。

若函數又有正定的性質，即

 ，針對所有的


而且除了 for 的平凡軌跡外，未包括其他軌跡，則原點為李雅普诺夫稳定性。

再者，若是徑向無界（radially unbounded）

 當時，

原點為全域漸近穩定。

 局部穩定性版本 

若 
 ，當時


當在原點的鄰域內才成立，且集合



除了的軌跡外，不包括其他系統的軌跡，則依照拉薩爾不變集原理的局部穩定版本，原點有局部的漸近穩定性。

 和李雅普诺夫稳定性的關係 
If 為負定，則原點的全域漸進穩定是李雅普诺夫第二定理的結果。若只是半負定，不變集原理也是判斷漸近穩定性的準則。

 例子：有摩擦力的單擺 
此段落會用不變集原理來確立簡單系統的區部漸近穩定性。此系統的微分方程如下：

其中是單擺的角度，以垂直往下的角度為0度，是單擺的質量，是摩擦係數，g是因重力產生的加速度。

因此可以將系統方程式表示如下

利用不變集原理，可以證明一定大小的球體，若初始位置在原點附近，可以證明其所有的軌跡都會漸近收斂到原點。定義為

即為系統的能量。在原點附近，半徑的開球體內為正定。計算其導數

可觀察到。若成立，可以依李雅普诺夫第二定理得到所有軌跡都會到達原點的結論。不過很可惜，及只是半負定。不過，以下集合

也就是

除了平凡軌跡x = 0外，不包括系統內的任何軌跡。若在特定時間 , ，則因為必需小於，則且。因此，軌跡不會停留在集合內。

不變集原理的所有條件都滿足，也可以下結論說：所有在原點附近的軌距，當時，最後都會收斂到原點。

 歷史 
此結果是由（在）及兩人獨立發現，兩人分別在1960年及1969年發表。約瑟夫·皮爾·拉薩爾在1960年發表此論文，是西方第一位發表此定理的人，而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例，而1959年時由克拉索夫斯基發表了一般性的定理。

 相關條目 
 穩定性理論
 李雅普诺夫稳定性

 原始論文 
 LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF )

 Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

 教科書 

 教材 
 德克萨斯州农工大学不變集原理的講義（PDF）
 北卡罗来纳州立大学拉薩爾不變集原理的講義（PDF ）
 加利福尼亞理工學院拉薩爾不變集原理的講義（PDF ）
 麻省理工学院拉薩爾穩定性分析及不變集原理的開放講程講義（PDF ）
 普渡大學穩定性理論及拉薩爾不變集原理的講義（PDF）

 參考資料 

  Lecture notes on nonlinear control , University of Notre Dame,  Instructor: Michael Lemmon, lecture 4. 
  ibid.
 Lecture notes on nonlinear analysis , National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2. 
  Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.

Category:稳定性理论
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