吉洪诺夫正则化

吉洪诺夫正则化得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫，是在自变量高度相关的情景下估计多元回归模型系数的方法。它已被用于许多领域，包括计量经济学、化学和工程学。吉洪诺夫正则化为非适定性问题的正则化中最常见的方法。在統計學中，本方法被称为脊回归回归或岭回归（）；在机器学习領域則称为权重衰减或权值衰减（）。因為有不同的數學家獨立發現此方法，此方法又稱做吉洪诺夫－米勒法（）、菲利浦斯－图米法（）、受限线性反演（），或线性正规化（）。此方法亦和用在非线性最小二乘法的莱文伯格-马夸特方法相关。它对于缓解线性回归中的多重共线性问题特别有用，这常见于有大量参数的模型中。总的来说，这种方法提高了参数估计的效率，但也有可容忍的偏差（见偏差-方差权衡）。

该理论于 1970 年由 Hoerl 与 Kennard 发表在《技术计量学》上的文章《岭回归：非正交问题的偏估计》及《岭回归：非正交问题中的应用》中首次提出。这是对脊分析领域进行十年研究的结果。

岭回归是通过创建岭回归估计量（RR）实现的。当线性回归模型具有多重共线（高度相关）的自变量时，岭回归对于最小二乘估计的不精确性是一种可能的解决方案。这提供了更精确的岭参数估计，因为它的方差和均方估计量通常小于先前推导的最小二乘估计量。

当求解超定问题（即 ）时， 矩阵  的协方差矩阵  奇异或接近奇异时，利用最小二乘方法求出的结果  会出现发散或对  不合理的逼近。为了解决这一问题，吉洪诺夫于 1963 年提出了利用正则化项修改最小二乘的代价函数的方法，修改后的代价函数如下：

式中  称为正则化参数，这种方法被称为吉洪诺夫正则化。

概览
在最简单的情况下，向主对角线添加正元素可以缓解近奇异矩量矩阵  问题，减少条件数。类似于最小二乘估计量，简单岭估计量可定义为

其中  是回归子， 是设计矩阵， 是单位矩阵，岭参数  则是矩量矩阵对角线的恒定位移。关于实践中的选择，参可以证明这个估计量是约束为  的最小二乘问题的解，可表达为拉格朗日形式：

其说明， 不过是约束的拉格朗日乘数。通常要根据启发式准则选择 ，以便不完全满足约束。特别是在约束 ，即非约束约束（non-binding constrain），岭估计量退化为普通最小二乘法。下面讨论一种更通用的吉洪诺夫正则化方法。

历史
吉洪诺夫正则化是在许多不同背景下独立发明的。安德烈·吉洪诺夫. Translated in 和 David L. Phillips 最早使用了这种方法。有限维情形由采用统计方法的 Arthur E. Hoerl 和 Manus Foster 完成，后者将其解释为克里金法滤子。自 Hoerl 之后，这种方法在统计学文献中被称为岭回归，以沿单位矩阵对角线的形状命名。

吉洪诺夫正则化
假设对已知矩阵  和向量 ，我们希望找到向量  使

标准方法是普通最小二乘法线性回归。但若没有  满足方程或超过一个  满足（即解不唯一），则待研究问题为不适定问题，普通最小二乘估计会导致方程组过定或欠定。大多数现实世界的现象在前向问题中都具有低通滤性质，其中  将  映射到 。因此在解决逆问题时，逆映射作为高通滤波器，具有放大噪声的不良趋势（特征值/奇异值在逆映射中最大，在正映射中最小）。此外，普通最小二乘隐式地消除了位于  的零空间的  的重建版本的每个元素，而非允许将模型用作  的先验。普通最小二乘寻找最小化残差平方和，可以紧凑地写作

其中  是欧几里得范数。

为优先选择具有所需性质的特定解，可在最小化中包含正则化项：

其中吉洪诺夫矩阵  需要适当选取，许多时候选为单位矩阵的标量倍数（），并优先考虑范数较小的解；这叫做  正则化。这之外，若认为基础向量几乎连续，则可使用高通运算（如递推关系式或加权离散傅里叶变换）以实现平滑。这种正则化改进了问题条件，从而实现了直接的数值求解。显式解表示为 ，是这样得到：

正则化的效果可能因矩阵  的尺度而异。若择 ，如  存在，则简化为非正则化最小二乘解。

除线性回归外， 正则化还有许多应用场景，如逻辑斯谛回归或支持向量机分类，以及矩阵分解。

广义吉洪诺夫正则化
对于  和数据误差的多元正态分布，可以应用变量的变换来简化上述情况。等价地，可以寻求最小化 ：



其中  表示加权范数平方 （比较马哈拉诺比斯距离）。在贝叶斯解释中， 是  的逆协方差矩阵； 是  的期望； 是  的逆协方差矩阵。吉洪诺夫矩阵为矩阵  的分解（如科列斯基分解），可视作白化变换器。

这个推广问题有最优解 ，可以使用公式显式地写为



或等效地，当  非空：



拉夫连季耶夫正则化
有时可以避免使用 ，这由米哈伊尔·拉夫连季耶夫指出。例如，若  是对称正定矩阵，即 ，则其逆  可以用来在广义吉洪诺夫正则化中构造加权范数平方 ，则有最小化


或等价地由常数项，
 . 

该最小化问题有最优解 ，可以紧凑地写作公式

 , 

是广义吉洪诺夫问题的解，其中 。

拉夫连季耶夫正则化对原吉洪诺夫正则化有利，因为拉夫连季耶夫矩阵  的条件数比吉洪诺夫矩阵  小。

希尔伯特空间中的正则化 
典型的离散线性非适定问题由积分方程的离散化引起，可以在原始的无穷维背景中实现吉洪诺夫正则化。上面，我们可以将  解释为希尔伯特空间上的紧算子，、 为  的域与范围上的元素。 是自伴随有界可逆运算。

与奇异值分解和维纳滤波器的关系 
有  这个最小二乘解可用奇异值分解以特殊的方式分析。给定奇异值分解



，奇异值 ，则吉洪诺夫正则解可表为



其中  的对角值为



其余地方都是 0。这表明吉洪诺夫参数对正则化问题条件数的影响。对于广义情况，可以使用广义奇异值分解推导出类似的表示。

最后，其与维纳滤波有关：



其中维纳权为 ； 是  的秩。

确定吉洪诺夫因子 
最佳正则化参数  一般未知，在实践中常常临时确定。一种可能的方法依赖于下面描述的贝叶斯解释。其他方法包括偏差原理、交叉验证、L 曲线法、P. C. Hansen, "The L-curve and its use in the
numerical treatment of inverse problems",  约束最大似然法和无偏预测风险估计。Grace Wahba 证明，这种最优参数用留一交叉验证最小



其中  是残差平方和， 是自由度。

用前面的 SVD 分解，可以简化上述表达式：




；



与概率表述的关系 
逆问题的概率公式引入了（当所有不确定量都为正态量时）表示模型参数先验不确定性的协方差矩阵 ，以及表示观测参数不确定性的协方差矩阵 。当它们都是对角各向同性矩阵（），且 ，则逆理论方程简化为上述方程，且 。

贝叶斯解释 

虽然选择这个正则化问题的解可能看起来是人为的，而且矩阵  似乎相当武断，但从贝叶斯的角度来看，这个过程是合理的。注意，不适定问题必须引入额外假设才能得到唯一解。在统计学中， 的先验分布有时被认为是多元正态分布。为简单起见，此处做出以下假设：均值为零；组分独立；组分标准差均为 。数据也受误差影响，并且假设  中的误差独立，均值为零，标准差为 。在这些假设下，根据贝叶斯定理，吉洪诺夫正则化解是给定数据和  的先验分布的最可能的解。

若正态性假设被同方差和无关误差假设代替，且若假设均值仍是零，则高斯-马尔可夫定理意味着解是最小无偏线性估计量。

另见 
 Lasso 算法是统计学中另一种正则化方法。
 弹性网络正则化 
 矩阵正则化 

注释 


参考文献 


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