博雷尔-卡拉西奥多里定理

在复分析中，博雷尔-卡拉西奥多里定理（Borel-Carathéodory theorem）表明解析函数有一个用实部表示的上界。它是最大模原理的一个应用，以埃米尔·博雷尔与康斯坦丁·卡拉西奥多里命名。

 定理陈述 
设函数在以原点为圆心以为半径的闭圆盘上解析。假设，则有以下不等式：

其中左边的范数是在闭圆盘上的最大值：

 证明 
定义。

首先设。由于是调和的，可以取。映到直线左边的半平面。我们想把这个半平面映到圆盘上，再用施瓦茨引理，得到所要的不等式。

把变成标准左半平面。把左半平面变成圆心在原点且半径为的圆。它们的复合映射把0映成0，就是所需要的映射：

对上面这个映射与的复合使用施瓦茨引理，得到

取，上式变为

所以

对于一般的情况，考虑

整理后即得所要证明的不等式。

 参考资料 

 Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
 Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.

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