阿诺索夫微分同胚

在数学中，尤其是动力系统与几何拓扑中，流形M上的阿诺索夫映射（Anosov map）是M到自身的一种映射。阿诺索夫系统是A公理系统的特例。

阿诺索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）由德米特里·维克托罗维奇·阿诺索夫引入，他证明了这种微分同胚的行为在某种意义上是普遍的。

 概述 
有三个相互联系但又有区别的定义：

 若M上的可微映射f在切丛上有双曲结构，则称f是一个阿诺索夫映射。例子有伯努利映射，以及阿诺尔德猫映射。
 若这个映射还是一个微分同胚，则称为阿诺索夫微分同胚。
 若流形上的一个流把切丛分成三个不变子丛，其中一个子丛呈指数衰减，一个指数增大，第三个不增大也不减小，则这个流称为阿诺索夫流。

阿诺索夫证明了阿诺索夫微分同胚是结构稳定的，并且组成了全体映射（流）的开子集（拓扑）。

并非每个流形上都可以有阿诺索夫微分同胚；例如，球面上就没有这样的微分同胚。容许有阿诺索夫微分同胚的最简单的紧流形是环面：上面有所谓的线性阿诺索夫微分同胚，这是没有模1特征值的同构。可以证明环面上其他的阿诺索夫微分同胚都与这种同胚拓扑共轭。

对容许有阿诺索夫微分同胚的流形进行分类是非常困难的问题，截至2012年仍然没有解决。

另外，也不清楚是否每个且保持体积的阿诺索夫微分同胚都是遍历的。阿诺索夫证明了把换成的条件下是成立的。

 黎曼曲面（的切丛）上的阿诺索夫流 
负曲率黎曼曲面的切丛上的阿诺索夫流。这个流可以理解为双曲几何的庞加莱半平面模型的切丛上的流。负曲率黎曼曲面可以用福克斯模型来定义，即上半平面与福克斯群的商。设为上半平面，为福克斯群，为负曲率黎曼曲面，为流形M上的单位向量的切丛，是的单位向量的切丛。注意曲面上单位向量的丛是复直线丛的主丛。

 李向量场 
注意同构于李群。这个群是上半平面的保向等距同构组成的群。的李代数是，由以下矩阵表示

指数映射

定义了流形上的右不变流，而与此类似。定义，这些流定义了P和Q上的向量场。

 阿诺索夫流 
是P和Q上的测地流。根据定义李向量场在群元素的作用下是左不变的，可以得到这些场在下是左不变的。换句话说，空间和分成了三个一维空间，或子丛，每一个都在测地流作用下不变。最后注意到其中一个子丛的向量场呈指数扩大，另一个不变，第三个呈指数缩小。

精确地说，切丛可以写成直和

这些空间在测地流的作用下不变；即，在群元素的作用下不变。

要比较不同点q处的向量的长度，需要有度量。上的任何内积都可扩张成P上的左不变黎曼度量，进而得到Q上的黎曼度量。向量的长度在的作用下指数增大。向量的长度在的作用下指数衰减。中的向量不变。测地流是不变的

但另外两个分别是衰减和增大的：

其中中的切向量由曲线在处的导数给出。

 阿诺索夫流的几何解释 
当作用在上半平面的点时，对应了上半平面的一条过点的测地线。这个作用就是在上半平面的标准莫比乌斯变换，所以

一般的测地线

式中是实数，且。曲线与称为极限圆。极限圆对应于极限球面的法向量在上半平面的运动。

 另见 

 莫尔斯-斯梅尔系统
 伪阿诺索夫映射

 参考资料 

 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Y-system,U-system, C-system ", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
 Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature, (1991), appearing as Chapter 3 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Provides an expository introduction to the Anosov flow on SL(2,R).)
 This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
 Toshikazu Sunada(砂田 利一), Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.

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