伯恩施坦不等式

在概率论中，伯恩施坦不等式（Bernstein inequalities）给出了随机变量的和对平均值偏离的概率。在最简单的情况下，设是独立的伯努利随机变量，取值+1和-1的概率各是1/2，则对任意正数

伯恩施坦不等式由谢尔盖·伯恩施坦于1920年代证明，并于1930年代发表S.N.Bernstein, "On a modification of Chebyshev’s inequality and of the error formula of Laplace" vol. 4, #5 (original publication: Ann. Sci. Inst. Sav. Ukraine, Sect. Math. 1, 1924) Bernstein, S. N. (1937). "Об определенных модификациях неравенства Чебышева" [On certain modifications of Chebyshev's inequality]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 17 (6): 275–277. S.N.Bernstein, "Theory of Probability" (俄语), Moscow, 1927 J.V.Uspensky, "Introduction to Mathematical Probability", McGraw-Hill Book Company, 1937 。之后，这些不等式多次被其他数学家独立地发现。因此，伯恩施坦不等式的一些特例也被称为Chernoff界，Hoeffding不等式，以及吾妻不等式。

 不等式 
1.设是数学期望为0的独立的随机变量。若对所有，几乎必然成立，则对任意正数

2.设是独立的随机变量。若存在正实数，使得对任意整数，都有，则对

3.设是独立的随机变量。若对任意整数，都有，记，则对于

4.伯恩施坦也把以上不等式推广到弱相关随机变量的情况。例如，不等式（2）可以推广成以下形式。可以不是独立随机变量。若对任意正整数，

则对于，

 另见 

 集中不等式

 参考资料 

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