吾妻不等式

在機率論中，吾妻不等式（Azuma's inequality）是关于差有界的鞅的不等式，给出了值的集中情况，以日本數學家（Azuma Kazuoki）命名Azuma, K. (1967). "Weighted Sums of Certain Dependent Random Variables" (PDF). Tôhoku Mathematical Journal. 19 (3): 357–367. doi:10.2748/tmj/1178243286. MR 0221571.。

 陈述 
设为鞅（或上鞅），且几乎必然成立。则对任意正整数与正实数，

当是下鞅时，对称地有：

若是鞅，同时使用以上两个不等式并利用布尔不等式可得：

对Doob鞅使用吾妻不等式得到McDiarmid不等式McDiarmid, C. (1989). "On the method of bounded differences". Surveys in Combinatorics. London Math. Soc. Lectures Notes 141. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 148–188. MR 1036755.，常见于随机算法的分析中。

 吾妻不等式的简单例子 
设是一列独立且同分布的随机变量，代表了抛硬币的结果（+1代表正面，-1代表反面，正反面出现的概率相等）。

定义，这是一个鞅，而且满足，允许使用吾妻不等式。具体来说，我们得到

如果令正比于，则这个不等式告诉我们，尽管的最大可能值随线性增大，但是概率随指数衰减。

如果令，得到：

这意味着超过的概率随而趋于0。

 备注 
谢尔盖·伯恩施坦于1937年证明了一个类似的但条件更弱的不等式Bernstein, Sergei N. (1937). На определенных модификациях неравенства Чебишева [On certain modifications of Chebyshev's inequality]. Doklady Akademii Nauk SSSR (俄语). 17 (6): 275–277. (vol. 4, item 22 in the collected works)。见伯恩施坦不等式。

Hoeffding对独立变量证明了这个结果，而不是鞅的差，并且也注意到做一些小调整，这个结果对鞅的差也是成立的Hoeffding, W. (1963). "Probability inequalities for sums of bounded random variables". Journal of the American Statistical Association. 58 (301): 13–30. doi:10.2307/2282952. JSTOR 2282952. MR 0144363.。

 另见 

 集中不等式

 参考资料 

Category:概率不等式
Category:鞅论