抽象解析数论

抽象解析数论（abstract analytic number theory）是数学的一个分支，把传统的解析数论的观点和方法应用于各种不同的数学领域中。以经典的素数定理为原型，重点关注抽象渐进分布的结果。该理论由数学家John Knopfmacher，Arne Beurling等人提出。

 算术半群 
该理论涉及到一个基本概念，算术半群，是满足以下性质的交换幺半群G：

 G有一个可数子集P，使得G中的每个元素有唯一分解，其中是P中不同的元素，是正整数，并且不考虑顺序。P的元素称为G的素元（prime）。
 存在G上的实值映射，称为范数（norm），使得

 对任意，
 对任意，
 对任意实数，G中范数不超过x的元素的总个数是有限的。即

 加法数系 
若算术半群的底部幺半群G是自由的，则称为加法数系（additive number system）。

若范数是整数值的，则可以在G上定义计数函数和，其中是P中范数为n的元素的个数，是G中范数为n的元素的个数。令为对应的形式幂级数。可得基本恒等式

G的收敛半径定义为幂级数A(x)的收敛半径。

基本恒等式还有另一种形式

 例子 

 算术半群的原型是正整数的乘法半群，素元就是通常的素数。范数就是，因此，即不超过x的最大整数。
 设K是一个代数数域，即有理数域的有限扩张，K中的整数组成环，则的所有非零理想组成的集合G是算术半群，单位元是，理想的范数等于商环的基数。这种情况下，与素数定理对应的推广就是，描述了中的理想的渐进分布。

 方法与技巧 
算术函数与ζ函数的用处十分广泛。可以將传统的解析数论中算术函数与ζ函数的各种方法和技巧，推广到任意的算术半群上（可能还要满足几个附加的公理）。例如下面公理：

 A公理：存在正数A与，以及常数，使得。

对任何满足A公理的算术半群，有以下抽象素数定理：

其中是P中满足的元素p的总个数。

 另见 
 A公理，动力系统的一种性质

 参考文献 

 Burris, Stanley N. (2001). Number theoretic density and logical limit laws. Mathematical Surveys and Monographs. 86. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2666-2. Zbl 0995.11001.
 Knopfmacher, John (1990) [1975]. Abstract Analytic Number Theory (2nd ed.). New York, NY: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2. Zbl 0743.11002.
 Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge studies in advanced mathematics. 97. p. 278. ISBN 0-521-84903-9. Zbl 1142.11001.
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