最小上界性

数学中，最小上界性（亦称上确界性，）Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39) 是实数集和其他一些有序集的基础属性，与实数的完备性等价Willard says that an ordered space "X is Dedekind complete if every subset of X having an upper bound has a least upper bound." (pp. 124-5, Problem 17E.)
。  集合具有最小上界性当且仅当的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上确界)。

 性質概述 
 實數 
令為實數集的一個非空子集。
 如果實數大於或等於所有中的元素，則稱為的上界。
 如果實數是的上界，并且小於或等於所有的上界，則稱為的最小上界。

最小上界性的表述為
 所有具有上界的非空實數集都有最小上界，且最小上界為實數。

 一般序集合 
對任意偏序集合，我們都可以定義的子集的上界和最小上界，只需把前一段落的「實數」改為「的元素」即可。

此處最小上界性的表述為
 所有具有上界的的非空子集都有最小上界，并滿足。

有理數集并沒有最小上界性，考慮其子集

它有在有理數集中的上界（例如2），但它的最小上界不在有理數集中。

 證明 

 應用 
最小上界性可以用來證明許多實分析中的主要定理

 中間值定理 
 波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理 
 極值定理 
 海涅-博雷爾定理 

参考文献

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