非线性回归

在统计学中， 非线性回归是回归分析的一种形式，其中观测数据由函数建模，该函数是模型参数的非线性组合并且取决于一个或多个独立变量。  通过逐次逼近的方法拟合数据。

 一般 
在非线性回归中，形式的统计模型 ， 



关联自变量 x的向量及其相关的观察到的因变量 y 。函数f在参数β的矢量的分量中是非线性的，但在其他方面是任意的。例如，酶动力学的米-门二氏动力学模型有两个参数和一个独立变量，由f相关：  



此函数是非线性的，因为它不能表示为两个   的线性组合。 

系统误差可能存在于自变量中，但其处理不在回归分析的范围内。  如果自变量不是无差错的，那么这是一个变量误差模型 ，也在此范围之外。 

非线性函数的其他示例包括指数函数 ， 对数函数 ， 三角函数 ， 幂函数 ， 高斯函数和洛伦兹曲线 。  某些函数（如指数函数或对数函数）可以进行转换，以使它们是线性的。  如此转换，可以执行标准线性回归，但必须谨慎应用。  有关详细信息，请参阅下面的线性化§Transformation 。 

通常，对于最佳拟合参数，没有闭合形式表达式，如线性回归 中所示。  通常应用数值优化算法来确定最佳拟合参数。  与线性回归相比，可能存在要优化的函数的许多局部最小值 ，甚至全局最小值也可能产生偏差估计。  在实践中，结合优化算法使用参数的估计值来尝试找到平方和的全局最小值。 

 回归统计 
这个过程的基本假设是模型可以用线性函数近似，即一阶泰勒级数 ： 

其中 ,由此得出最小二乘估计量由下式给出 .

计算非线性回归统计量并将其用作线性回归统计量，但在公式中使用J代替X.  线性近似将偏差引入统计中。  因此，在解释从非线性模型得到的统计数据时，需要比平常更多的谨慎。

 普通和加权最小二乘法 
最佳拟合曲线通常假定应该看起来平方的总和最小化残差 。  这是普通的最小二乘 （OLS）方法。  然而，在因变量不具有恒定方差的情况下，可以最小化加权平方残差的总和;看加权最小二乘法 。  理想情况下，每个权重应等于观察方差的倒数，但是在迭代加权最小二乘算法中，可以在每次迭代时重新计算权重。 

 线性化 

 转型 
通过模型公式的适当变换，可以将一些非线性回归问题移动到线性域。 

例如，考虑非线性回归问题 

带有参数a和b以及乘法误差项U.如果我们采用双方的对数，那就变成了 

其中u = ln（ U ），建议通过x上的ln（ y ）的线性回归估计未知参数，该计算不需要迭代优化。  但是，使用非线性变换需要谨慎。  数据值的影响将发生变化，模型的误差结构和任何推论结果的解释也将发生变化。  这些可能不是期望的效果。  另一方面，取决于最大误差源是什么，非线性变换可以以高斯方式分布误差，因此必须通过建模考虑来选择执行非线性变换。 

对于米-门二氏动力学 ，线性双倒数图 

1 / v对1 / [ S ]已被大量使用。  但是，由于它对数据错误非常敏感，并且强烈偏向于将数据拟合到自变量[ S ]的特定范围内，因此强烈建议不要使用它。 

对于属于指数族的误差分布，可以使用链接函数来变换广义线性模型框架下的参数。

 分割 
右|缩略图|175x175像素| 芥菜和土壤盐分的产量 
独立或解释变量 （比如X）可以分成类或段，并且可以对每个段执行线性回归 。  具有置信度分析的分段回归可以产生依赖或响应变量 （假设Y）在各个段中表现不同的结果。  RJOosterbaan，1994，频率和回归分析。在：HPRitzema（ed。），Drainage Principles and Applications，Publ。 16，pp.175-224，国际土地复垦与改良研究所（ILRI），荷兰瓦赫宁根。  

该图显示土壤盐度 （X）最初对芥菜的作物产量 （Y）没有影响，直到临界 值或阈值（ 断点 ），之后产量受到负面影响。 RJOosterbaan，2002年。农民田间的排水研究：数据分析。国际土地复垦与改良研究所（ILRI）项目“液体黄金”的一部分，荷兰瓦赫宁根。以PDF格式下载  ：   。这个数字是用SegReg程序制作的，可以从 免费下载。 

 参见 

 方差分析
 安斯库姆四重奏
 横截面回归
 曲线拟合
 经验贝叶斯方法
 逻辑斯蒂回归
 M估计
 非参数回归
 多元自适应回归样条
 Lack-of-fit sum of squares
 截断回归模型
 删失回归模型
 简单线性回归
 分段线性回归
 非线性最小二乘法 
 曲线拟合 
 广义线性模型 
 局部回归

 参考文献 

脚注

拓展阅读




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