古德斯坦定理

古德斯坦定理是數理邏輯中的一個關於自然數的敘述，是在 1944 年由魯本·古德斯坦所證明。其主要是在說明「古德斯坦序列」最終會結束於 0 。柯比和柏麗斯 證明它在皮亞諾算術中是不可證明的（但它可以在一個更強的系統如二階算術中被證明）。這是繼哥德爾不完備定理構造的命題（）和 1943 年格哈德·根岑直接證明皮亞諾算術中 ε0-induction 不可被證明之後，第三個（對自然數為真的）命題被證明在皮亞諾算術中不可證明。之後的例子是柏麗斯–哈靈頓定理。

勞倫斯·柯比和傑夫·柏麗斯介紹了一個圖論中的九頭蛇遊戲，其行為類似古德斯坦序列：「九頭蛇」是一棵有根的樹，而序列每一步是砍掉它的一顆頭（即樹的分支），然後九頭蛇則對應地會依據某些規則來增加有限數量的頭。柯比和柏麗斯則證明，不管赫拉克勒斯使用何種策略來砍頭，九頭蛇最終會被斬殺（儘管這個過程可能會非常漫長）。如古德斯坦序列，柯比和柏麗斯證明其在皮亞諾算術中是不可證明的。

 以n為基底的瓜瓞式基底表示法 
古德斯坦序列是由一種「以n為基底的瓜瓞式表示法」的概念來定義的。這個表示法與平常的 n 進位制表示法很像，但一般的進位表示法無法達到古德斯坦定理的目的。在原本的 n 進位表示法，n 是一個大於 1 的自然數，而任一個自然數 m 則被改寫為一些由 n 的冪次的乘積的相加之和：

其中，每個係數 ai 滿足，且。如在 2 進位中，

所以， 35 的二進位是 100011（）。類似地，由 3 進位表示的 100 是 10201:

然而需注意的是，這些指數仍非是基於 n 的表述法。如上述表示式中的 25 和 34 。

將一個 n 進位表示轉換為瓜瓞式n基底表示法，首先要將每個指數改為 n 基底表示法。然後改寫指數中的指數，持續這個動作直到每個數都被改為以 n 為基底表示法。

譬如， 2 進位的 35 為 100011 ，將它改寫成以 n 為基底的瓜瓞式表示法為：

() 。類似的，以3為基底的瓜瓞式表示法的 100 為

 古德斯坦序列 
古德斯坦序列 G(m) 是一個自然數的序列。第一項為 m 本身。第二項則是先將 m 以 2 為基底得出其的瓜瓞式表示法，再將所有的 2 改為 3，再減去 1。更一般地，第  項的  為：
 將 G(m)(n) 轉為以  為基底的瓜瓞式表示法。
 將所有的  改為  。
 減 1。
 重復這個過程，直到結果為 0 則停止。

前幾個古德斯坦序列會很快地終止，如 G(3) 結束於第 6 步：

 基底  瓜瓞式表示法  值  註記    2              3  以 2 為基底改寫 3。    3    3  將 2 改為 3，再減 1。    4          3  將 3 改為 4，再減 1。此時已無任何 4 了。    5            2  沒有 4 需要改為 5。單純減 1。    6            1  沒有 5 需要改為 6。單純減 1。    7            0  沒有 6 需要改為 7。單純減 1。

之後的古德斯坦序列則成長到很龐大的數字，如 G(4)  開始如下：

 瓜瓞式表示法  值                                                  4                26                          41                              60    83                                  109                                                                                   253            299                                                          1151

G(4) 會一直遞增，直到基底為  時，會達到最大值  ，並在這裡停留  步後，然後開始遞減。

這個序列到達 0 時，當時的基底為 。（有趣的是，這是個胡道爾數：。而且，對於所有起始值大於 4 的數，都是如此。）

不過，G(4) 仍無法很好地展示古德斯坦序列的項數是如何快速地成長。G(19) 成長更迅速，其開頭幾項如下：

 瓜瓞式表示法  值     19                                                  






儘管其成長如此迅速，古德斯坦定理說明了無論起始值為何，每個古德斯坦最終會終止於 0。

 證明 

古德斯坦定理的證明（需要使用皮亞諾算術以外的技巧）如下：
對於每個給定的古德斯坦序列 G(m) ，我們可以建造一個由序數所組成的平行序列 P(m) ，而且是嚴格遞減和終止。所以G(m) 也必將停止，並且它只在達到 0 時才會終止。

對這個證明的常見的誤解在於認 G(m) 達到 0 是「因為」它被 P(m) 所支配。事實是，P(m) 對支配 G(m) 毫無作用。其重點在於： G(m)(k) 存在當且僅當 P(m)(k) 存在。於是，如果 P(m) 終止，則 G(m) 也如此。而 G(m) 只有在到逹 0 時才會終止。

我們可以定義函數 f(x)，將 x 改為以為基底的表示法，並將每個  換成第一個無窮序数 ω。
而序列 P(m) 中的每一項 P(m)(n) 則定義為 f(G(m)(n),n+1)。譬如， 和  。序數的加法、乘法和指數都是良好定義的。

我們可聲明  。在古德斯坦序列中，將 G(m)(n) 改換基底後，將其記為  。明顯的， ，現在我們套用 -1 運算後，因為 ，所以 。

譬如，  乃 ，所以  和  是嚴格變小。需注意的是，若要計算 f(G(m)(n),n+1) ，我們要先將 G(m)(n) 改為以  為基底的表示法。所以如  等的表示式，既不會是無意義的也非等同  。

P(m) 是嚴格遞減的。而標準排序運算元 < 在序數上是良基关系，一個無窮的嚴格遞減序列是不可能存在的。換句話說，每個嚴格遞減的序數序列會停止（不可能無限）。但P(m)(n) 是由 G(m)(n) 計算出來的。 G(m)(n) 也必然停止，這意味著它會達到 0 。

雖然這個證明相當簡單，但柯比-柏麗斯定理 （證明了在皮亞諾算術中不會有古德斯坦定理）則是非常專門且相當困難。它使用了皮亞諾算術中的。

 擴展的古德斯坦定理 

假設古德斯坦定理的定義中的「將b改為」的這個動作，將它改為 ，那麼這個序列會終止嗎？
更一般地，讓 b1, b2, b3, … 為任意整數列，然後讓第  項的  變成：
將 G(m)(n) 改為 bn 的表示法，將 bn 改為  再減 1 。
我們仍可斷言這個序列仍會終止。
擴展的證明則將  定義為如下：
將 G(m)(n) 改為 bn 表示法，再將所有的 bn 改為第一個無限序数 ω。
古德斯坦序列中，從G(m)(n)到的換底運算並不會改變 f 的值。
譬如，如果  且 ，
則
。因此，序數  是
嚴格大於序數 。

 起始點為變量的序列長度函數 

古德斯坦函數  定義為由 n 為起始值的古德斯坦序列的長度。因為古德斯坦序列會終止，所以這是一個完全函數。要測定  的快速成長，可由多種藉由標準基於序數體系中的函數，如 中的  函數，和 Löb and Wainer 的   函數。

 Kirby and Paris (1982) 證明
 有著和  近似的成長速度（等同於 ）; 更精確地說，對每個 ， 控制 ，且  控制 。
(對兩個函數 ，我們說  控制  是指，如果對於所有足夠大的  ，都有 。）

 Cichon (1983) 證明

其中  是將 n 改為以 2 為基底的瓜瓞式表示法，並將所有 2 改為 ω 的結果（即古德斯坦定理的證明中所做的事）。

 Caicedo (2007) 證明如果  且有  then
.

一些例子如下：

 n   1     2 2     4 3     6 4     3·2402653211 − 2 ≈ 6.895080803×10121210694 5     > A(4,4)> 6      > A(6,6) 7      > A(8,8) 8      > A3(3,3) = A(A(61, 61), A(61, 61))  12      >  fω+1(64) > 葛立恆數  19     
（對於阿克曼函數和葛立恆數的界限，請參考。）

 可計算函數的應用 

古德斯坦定理可用於構造一個全可计算函数，但皮亞諾算術卻不能證明它是全函數。图灵机可以有效地列舉古德斯坦序列；所以存在一個特殊的圖靈機來計算古德斯坦函數。這個圖靈機只需列舉出 n 的古德斯坦序列，並在遇到 0 時結束，並傳回其長度。因為每個古德斯坦序列終將結束，所以這個函數是完全的。但因為皮亞諾算術不能證明古德斯坦序列會終止，皮亞諾算術不能證明這個圖靈機計算了一個完全函數。

 另見 




 Kruskal's tree theorem

参考资料

Bibliography
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外部連結

Some elements of a proof that Goodstein's theorem is not a theorem of PA, from an undergraduate thesis by Justin T Miller
  A Classification of non standard models of Peano Arithmetic by Goodstein's theorem - Thesis by Dan Kaplan, Franklan and Marshall College Library
Definitions of Goodstein sequences in the programming languages Ruby and Haskell, as well as a large-scale plot 
 The Hydra game implemented as a Java applet 
 Javascript implementation of a variant of the Hydra game 
 Goodstein Sequences: The Power of a Detour via Infinity - 對古德斯坦序列和九頭蛇遊戲有很好的解譯。

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