階冪

在數學中，正整数的階冪（）是所有小於及等於該數的正整數的冪，記作  ，例如：

。

階冪是階加和階乘在冪運算上的類比。

前几项的階冪数为

1 , 2 , 9 , 262144 , ... 

階冪的增長率比階乘，甚至過級階乘還要快。到了5的階冪，已經是 。

定義

一般地說，對於正整數 n，

從上述公式中，可以推導出遞歸關係：

。

遞迴關係在階冪函數中任意正整數 n 皆成立，例如：


 非正整數的擴展 

階冪原始的定義只在正整數上。不同於階乘，階冪的定義域從正整數推廣到實數和複數的過程中，遇到了困難。

與疊代冪次相似，由於冪塔高度為 0 的數值並沒有一個廣為接受的良好定義，  並未定義。階冪亦不像階乘般，存在如伽瑪函數一樣的函數，作為其對實數以至複數的擴展。

變化

 雙階冪 

類比於雙階乘，能夠為正整數 n 定義雙階冪（double expofactorial）。

當  是單數， 。

當  是雙數， 。

 多重階冪 
雙階冪能進一步推廣為多重階冪（multiple expofactorial）。 被称为 n 的 m 重階冪，定义为
。

例如， 。

 超級階冪 
類比於由尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義的超級階乘，我們能定義超級階冪（superexpofactorial）為首 n 個階冪的疊冪，記作。

例如， 

前幾個超級階冪為

1 , 2 , 81, ...
第四个超級階冪值約為。

 過級階冪 
過級階冪（hyperexpofactorial）寫作  ，其定義為

，

其中  表示疊代冪次。

例如， 

前幾項的過級階冪為

1 , 4 , 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, ...
第四个過級階冪值約為。

 倒數階冪 

倒數階冪（reciprocal expofactorial）是指所有小於及等於該數的正整數之倒數的疊冪：
。

階冪的和及積

首 n 個階冪的和為

。

首 n 個階冪的積為

。

以上兩個數值的增長率，要比階冪本身還要快。

首 n 個階冪倒數的和為

。

當 n 趨向無窮大，其值收斂於 。

參見
階加
階乘

參考文獻
Clifford A. Pickover (1995), Keys to Infinity, Wiley.
Jonathan Sondow, "Exponential Factorial " From Mathworld, a Wolfram Web resource
Sloane, N. J. A., Sequences A049384 and A080219, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

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Category:大整数