反函数的微分

数学上，可導雙射函數的反函數微分可由的導函數給出。若使用拉格朗日记法，反函数的导数公式为：



该表述等价于



其中  表示一元微分算子（在函数的空间上）， 表示二元复合算子。

記，則上式可用莱布尼兹符号寫成：


換言之，函數及其反函數的导数均可逆，并且乘积为1。这是链式规则的直接结果，因为



而  相对于  的导数为1。

几何上，函数和反函数有关于直线 .镜像的图像，这种映射将任何线的斜率变成其倒数。

假设  在的邻域有一个反函数并且它在该点的导数不为零，则它的反函数保证在 x 处是可微的，并有上述公式给出的导数。

 反函数举例 

 （为正）具有逆 中。




但是，在 有一个问题：平方根函数图像变为垂直的，相对应平方函数的水平切线。

  ( 为实数)具有逆 （为正值）





 其他属性 
 对反函数积分有如下公式



可见，具有连续导数的函数（光滑函数）在其导数非零的每一点的邻域内都有反函数。如果导数不连续的，则上述积分公式不成立。

 高阶导数 
上面给出的链式法则是通过对等式关于微分得到的。对于更高阶的导数，可以继续同样的过程。对恒等式对求导两次，得到



使用链式法则进一步简化为



用之前得到的恒等式替换一阶导数，得到



对三阶导数类似：



或者用二阶导数的公式，



这些公式是由Faa di Bruno公式推广。

这些公式也可以用拉格朗日表示法来表示。如果和是互逆的，则



 反函数的微分举例 

  有逆运算。使用反函数的二次导数公式，



于是，

 ,

与直接计算相同。

注释

 参见 
 微积分
 反函数
 链式法则
 反函数定理
 隐函数定理
 反函数的积分

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Category:求导法则
Category:反函数
Category:分析定理
Category:微積分定理