一阶偏微分方程

一阶偏微分方程是只和未知數的一階導數有關的偏微分方程，其型式如下

以下的應用會用到一阶偏微分方程：建構双曲型偏微分方程的特徵曲面、变分法、一些幾何問題，以及一些解有用到特征线法的氣體動力學簡單模型。若可以找到一阶偏微分方程的解族，可以透過建立解族的包絡線來找到其他的解。

通解及全積分

一阶偏微分方程的通解是指其中包括待定常數的解。若一阶偏微分方程中的待定常數和自變數一樣多，此解則稱為全積分（complete integral）。以下有n個參數的解族

若滿足的條件，即為全積分P.R. Garabedian, "Partial differential equations" , Wiley (1964)。

波方程的特徵曲面

波方程本身是二階偏微分方程，而其特徵曲面為滿足以下方程的等值曲面

若令，對一般性的影響不大，此時u滿足

用方量的表示方式，令

解族的特徵曲面可以表示為 

其中

若x和x0不變，此解的包絡線可以由找到半徑1/c圓球上的點，且u值為定值的點來求得。若平行，此條件會成立。因此，包絡線為

這個解對應一個半徑會以速度c膨脹或是收縮的圓球。這也是在時空下的光錐。

此方程的初值問題會包括給定t=0 時，u=0 的等值曲面S。這可以由找到所有中心在S上，半徑以速度c膨脹或是收縮的圓球包絡面來求得。包絡面可以由下式求得

若和S垂直，上式就會成立，因此包絡線對應和S垂直，速度為c的運動，這也就是Huygens波前建立法：S上的每一點在t=0時發射一個球狀波，較晚時間t的波前就是這些球狀波的包絡線。S的法向量即為光線。

參考資料

外部連結
 The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws

 相關書目 
 R. Courant]and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol II, Wiley (Interscience), New York, 1962.
 L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. 
 A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. 
 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. 
 Sarra, Scott The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws,  Journal of Online Mathematics and its Applications, 2003.

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