一致有界性原理

數學上，一致有界性原理，又稱巴拿赫–斯坦豪斯定理、共鸣定理，是泛函分析的重要結果。定理斷言，對於任意一族定義在巴拿赫空间上的连续线性算子，該族算子逐點有界，當且僅當其在算子范数意義下一致有界。

定理最早由斯特凡·巴拿赫和於1927年發表，亦由漢斯·哈恩獨立證出。

定理內容
設 X 和 Y 為兩個巴拿赫空間。假設 F 為由 X 映向 Y 的若干個連續線性算子的集合。若對於 X 中的任意一個 x ，都有

則

證明
由於 X 完備，利用贝尔纲定理可以得到以下簡短的證明。

假定對於 X 中的任意一個 x, 都有

對任意整數 記

則  為閉集，且由假設有

貝爾綱定理適用於非空的完备空间 X, 故存在 m 使得  的內部非空，即存在  和  使得

設 u ∈ X 滿足  和 , 則有：

使 u 歷遍 X 的單位球，並取遍  得到

因此定理成立。

也有無需貝爾綱定理的簡單證明，例如 .

推論

該定理可以推出：若一列有界算子 (Tn) 逐點收斂，即對 X 的任意元素 x, 序列 (Tn(x)) 都收斂，則該列有界算子的逐點極限定義了另一個有界算子 T.

注意上述推論並未斷言 Tn 在算子範數的意義下收斂到 T, 即：在有界集上一致收斂。然而，由於 (Tn) 在算子範數意義下有界，且其極限算子為一個連續算子 T, 可以利用標準的 "3-ε" 技巧證明，在任意緊集上，均有 Tn 一致收斂到 T.

另一推論為：賦範空間 Y 的弱有界子集 S 必然有界。

理由是，可以將 S 看成巴拿赫空間 X = Y* (Y的連續對偶）上逐點有界的一族連續線性算子。由一致有界性原理，S 的元素（視為 X 的線性泛函）的算子範數（即雙對偶 Y** 上的範數）有界，但由哈恩－巴拿赫定理可知，S 的任意元素 s 在雙對偶空間的範數，等於其於原空間 Y 的範數。

記 L(X, Y) 為自 X 映向 Y 的連續線性算子空間（賦以算子範數）。若族 F  為 L(X, Y) 的無界子集，則由一致有界性原理，有：

更甚者，R 在 X 中稠密。原因是，R 在 X 中的補集是 ∪Xn, 故為閉集 Xn 的可數並。按照定理的證明過程，每個 Xn 都无处稠密，故 ∪Xn 為第一綱集。所以 R 是貝爾空間中一個第一綱集的補集。根據貝爾空間的定義，這樣的集（稱為剩餘集）是稠密的。如此推理可得奇點凝聚原理，即：



原因是，R 的補集可以寫成第一綱集的可數並

因此其剩餘集 R 稠密。

例子：傅立葉級數的逐點收斂
設  為單位圓， 為  上連續函數在一致範數意義下組成的巴拿赫空間。由一致有界性原理，可以證明  中有一個元素，其傅立葉級數不逐點收斂。

對  其傅立葉級數定義為

而級數的第 N 階對稱部分和為

其中 DN 為第 N 階狄利克雷核。選定  然後考慮序列 (SN(f)(x)) 的收斂性。以下式定義泛函  ：

則 φN,x 有界。而 φN,x 於  的對偶空間的範數，是  (2π)−1DN(x−t) dt 的範數，故

可以驗證

故族 {φN,x} 是  ( 的對偶）的無界子集。因此，由一致有界性原理可知，對任意 傅立葉級數於 x 發散的連續函數在  中稠密。

也可運用奇點凝聚原理來得出更強的結論。設 (xm) 為  中的稠密序列。如上定義 φN,xm. 則由奇點凝聚原理，傅立葉級數於每一個 xm 都發散的連續函數在  中稠密。（然而要注意，根據，一個連續函數 f 的傅立葉級數，幾乎於每一點  都收斂到 f(x).

 推廣 
受最少限制，而類似結論仍然適用的空間，是。其上的一致有界性原理為:


若把 X 換成一個貝爾空間而保持 Y 為局部凸的，則結論同樣成立。

 證明了 上一個較弱的結論：

若 X 為 Fréchet 空間， Y 為賦範空間，H 為由 X 映向 Y 的若干連續線性算子組成的集合，其滿足對 X 中的任意元素 x，

則族 H 等度連續。

參見
是具有最少條件，而使巴拿赫–斯坦豪斯定理成立的拓撲向量空間。

參考文獻

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