濾波問題

在随机过程理論中的濾波問題（Filtering problem）是指針對信号处理及相關領域中，許多狀態估測問題的數學模型。大致概念是從不完整的、可能包括雜訊的觀測值中，建立有關系統真實值的「最佳估測」。最佳非線性濾波問題（甚至也包括非平稳过程問題）由（1959年Stratonovich, R. L. (1959). Optimum nonlinear systems which bring about a separation of a signal with constant parameters from noise. Radiofizika, 2:6, pp. 892-901.、1960年Stratonovich, R.L. (1960). Application of the Markov processes theory to optimal filtering. Radio Engineering and Electronic Physics, 5:11, pp.1-19.）找到解答，在的研究Kushner, Harold. (1967). Nonlinear filtering: The exact dynamical equations satisfied by the conditional mode. Automatic Control, IEEE Transactions on Volume 12, Issue 3, Jun 1967 Page(s): 262 - 267及的研究中也有提到，Zakai建立了濾波器在條件機率未歸一情況下的簡化動態模型Zakai, Moshe (1969), On the optimal filtering of diffusion processes. Zeit. Wahrsch. 11  230–243. , ，稱為。不過一般情形下的解是無限維的Mireille Chaleyat-Maurel and Dominique Michel. Des resultats de non existence de filtre de dimension finie. Stochastics, 13(1+2):83-102, 1984.。

目前已針對一些近似以及一些特定條件有深入的研究。例如在高斯隨機變數的假設下，最佳解是線性濾波器，也稱為维纳滤波及卡尔曼滤波。更一般的情形下，其解為無限維度，為了在有限記憶體的電腦中計算，需要進行有限維度的近似，有限維的近似型比較會以启发為基礎，例如擴展型卡爾曼濾波器或是假定密度濾波器（Assumed Density Filters）Maybeck, Peter S., Stochastic models, estimation, and control, Volume 141, Series Mathematics in Science and Engineering, 1979, Academic Press，也有更方法論導向的作法，例如Projection FiltersDamiano Brigo, Bernard Hanzon and François LeGland, A Differential Geometric approach to nonlinear filtering: the Projection Filter, I.E.E.E. Transactions on Automatic Control Vol. 43, 2 (1998), pp 247--252.，其中有些子系列恰好和假定密度濾波器相同Damiano Brigo, Bernard Hanzon and François Le Gland], Approximate Nonlinear Filtering by Projection on Exponential Manifolds of Densities, Bernoulli, Vol. 5, N. 3 (1999), pp. 495--534。

一般來說，若可以適用分離原理，這些濾波器也可以成為最优控制問題解的一部份。例如在LQG控制最佳控制問題中，其估測部份的解就是卡爾曼濾波。

數學表示

考慮概率空間 (Ω, Σ, P)，並且假設在n維度欧几里得空间 Rn的系統，其在時間t的（隨機）狀態Yt為随机变量 Yt : Ω → Rn，可以由以下形式伊藤清隨機微分方程的解來求得

其中B是標準p維布朗运动，b : [0, +∞) × Rn → Rn為漂移場（drift field），且σ : [0, +∞) × Rn → Rn×p是擴散場（diffusion field）。假設Rm內在每一個時間的觀測Ht（其中m和n可能不同）由下式決定

配合隨機微分方程的伊藤表示法，令

因此可以得到有關觀測Zt的隨機積分表示式：

其中W表示標準r維的布朗运动，和B和初始條件Y0無關，c : [0, +∞) × Rn → Rn，且 γ : [0, +∞) × Rn → Rn×r

可以在所有t及x，以及特定常數C的情形下，使下式成立：

濾波問題如下：給定在0 ≤ s ≤ t時間內的觀測量Zs for 0 ≤ s ≤ t，依上述觀測值，針對系統真實狀態Yt的最佳估測Ŷt是什麼？

因為「依上述觀測量為基礎」，表示Ŷt是根據Zs觀測量中Σ-代数下的可測函數。令K = K(Z, t) 是所有數值為Rn，平方可積分，而且Gt可量測隨機函數Y的集合：

因為要求是「最佳估測」，表示Ŷt會讓Yt和K集合內所有候選估測值之間的均方差有最小值：

基本結論：正交投影

候選估測值的空間K(Z, t)是希尔伯特空间，根據希尔伯特空间的理論，可以推得最小值問題（M）的解Ŷt可以表示為下式

其中PK(Z,t)表示將L2(Ω, Σ, P; Rn)映射到线性子空间 K(Z, t) = L2(Ω, Gt, P; Rn)的正交投影。而且，有關其条件期望，可知道若F是Σ中的次σ代數，則正交投影

也就是條件期望運算子E[·|F]，也就是說

因此

這個基本結果是濾波理論中，廣義Fujisaki-Kallianpur-Kunita方程的基礎。

 相關條目
 和濾波問題有緊密關係。
 濾波器
 信號處理中的
 卡尔曼滤波是濾波問題及平滑問題中最著名的解
 平滑

參考資料

  (See Section 6.1)

Category:控制理论