包络定理

包络定理(Envelop Theorem)是带参数的最优化问题中的一个定理。这个定理的内容是，参数的值变动时，目标函数的变动只和参数的变动有关，而与自变量（因参数变动而引起）的变动无关。包络定理在最优化领域非常有用。

 具体表述 
 无约束的情形 
设是上的可微实函数，其中是自变量，是参数，目标是选择适当的以最大化/最小化。设，其中为取最大值/最小值时的，则包络定理即
。

 证明 
根据全微分公式有
。
因为取最值时必有对的一阶偏导数为零，即
，
故可得到
，
也即成立。

 有约束的情形 
在无约束的情形下加上个同样可微的实约束函数，则包络定理变为
，
其中是拉格朗日函数。

证明过程与无约束时类似，只是取最值时变为。

 参考文献 

 参见 
霍特林引理
谢泼德引理
罗伊恒等式

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