倒數伽瑪函數

在數學中，倒數伽瑪函數（英語：Reciprocal gamma function）是指伽瑪函數的倒數：

其中，代表伽瑪函數。由於伽瑪函數在整個複數平面上皆非零且為亚纯函数，因此其倒數是一個整函数。

倒數伽瑪函數是一個1階整函數，其表示了的成長速度不會高過。雖為1階整函數但屬無窮型，也就是說的增長速度比任何的倍數都快，因為它的增長與左手平面上的大致成比例。

由於倒數伽瑪函數不像伽瑪函數快速成長，在程式計算上較伽瑪函數容易，例如其泰勒級數，因此部分軟體使用倒數伽瑪函數作為計算伽瑪函數的起點，一些軟體除了計算伽瑪函數外，會額外提供倒數伽瑪函數。

魏爾斯特拉斯將倒數伽瑪函數稱為「factorielle」表示階乘的倒數，並用於魏尔施特拉斯分解定理的發展。

 無窮乘積展開 
根據萊昂哈德·歐拉以及卡尔·魏尔斯特拉斯給出的伽瑪函數無窮乘積定義，可以推得倒數伽瑪函數即伽瑪函數之倒數的無窮乘積：

其中是歐拉-馬斯刻若尼常數。這個乘積展開式對所有複數z都有效。

泰勒級數
倒數伽瑪函數從零展開的泰勒級數為：

其中是歐拉-馬斯刻若尼常數。對的情形，其的系數可由遞迴定義求出Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682.：

其中代表黎曼ζ函數。2014年，Fekih-Ahmed發現這些係數可以用積分表示Fekih-Ahmed, L. (2014). On the Power Series Expansion of the Reciprocal Gamma Function  . HAL archives,：

其前幾項的值為：
 1  +1.0000000000000000000000000000000000000000 2  +0.5772156649015328606065120900824024310422 3  −0.6558780715202538810770195151453904812798 4  −0.0420026350340952355290039348754298187114 5  +0.1665386113822914895017007951021052357178 6  −0.0421977345555443367482083012891873913017 7  −0.0096219715278769735621149216723481989754 8  +0.0072189432466630995423950103404465727099 9  −0.0011651675918590651121139710840183886668 10  −0.0002152416741149509728157299630536478065 11  +0.0001280502823881161861531986263281643234 12  −0.0000201348547807882386556893914210218184 13  −0.0000012504934821426706573453594738330922 14  +0.0000011330272319816958823741296203307449 15  −0.0000002056338416977607103450154130020573 16  +0.0000000061160951044814158178624986828553 17  +0.0000000050020076444692229300556650480600 18  −0.0000000011812745704870201445881265654365 19  +0.0000000001043426711691100510491540332312 20  +0.0000000000077822634399050712540499373114 21  −0.0000000000036968056186422057081878158781 22  +0.0000000000005100370287454475979015481323 23  −0.0000000000000205832605356650678322242954 24  −0.0000000000000053481225394230179823700173 25  +0.0000000000000012267786282382607901588938 26  −0.0000000000000001181259301697458769513765 27  +0.0000000000000000011866922547516003325798 28  +0.0000000000000000014123806553180317815558 29  −0.0000000000000000002298745684435370206592 30  +0.0000000000000000000171440632192733743338
而的近似值為：

其中，
而是分支為負一的朗伯W函数。

 漸近展開 
當在為一固定值的情形下趨於無窮，則有：

 以圍線積分表示 
倒數伽瑪函數可使用（contour integration）表示，此表示法由赫爾曼·漢克爾所提出，其為：

其中，為。

 階乘倒數 
階乘倒數是指階乘的倒數。其等於所有小於及等於該數的正整數之倒數的積：

其無窮級數收斂在 142.D：

由於階乘可以用伽瑪函數來定義，因此階乘倒數也可以表示為：
.
對於的正整數，其階乘倒數可以用一個積分表示 ：
.
同理，倒數伽瑪函數也可以用類似的方法表示。對所有的實數 且 ，我們可以寫出倒數伽瑪函數沿著實軸的積分表示式：

其中在的特定情況下，則可獲得雙階乘的倒數與倒數伽瑪函數之關係：

 積分 
將倒數伽瑪函數在實軸上從零積到無窮的瑕積分為：

這個值又稱為。Finch, S. R. "Fransén-Robinson Constant." §4.6 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 262-264, 2003. 

參見
伽瑪函數
反伽瑪函數

參考文獻

 Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
 Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function 
 Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
 Eric W. Weisstein, Gamma Function, MathWorld

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