混合系統

混合系統（hybrid system）是同時包括連續及離散動態特性的动力系统，這類系統中同時有「流」（flow，以微分方程描述）以及跳躍（以有限状态机或自動機理論描述）的特性。有時也會用混合動態系統（hybrid dynamical system）這個詞語，比較不會和結合人工神经网络及模糊逻辑的系統，或是同時應用電子及機械的系統混唏。混合系統的好處是其結構可以包括更多種類的系統，在針對系統特性建模時也有更大的彈性。

一般而言，混合系統的狀態可以用連續變數的值以及其他離散的模式來表示。狀態可能依照其「流條件」（flow condition）有連續性的變化，或依照控制圖（control graph）有離散的變化。只要所謂的不變量維持不變，就會有連續性的變化，不過若滿足了特定的跳躍條件，就會有離散轉態。離散轉態也可能和事件有關。

例子
混合系統可以用來為許多系統進行建模，包括有碰撞的物理系统、邏輯動態控制器，甚至是互聯網擁堵問題等。

彈跳球
屬於有碰撞的物理系统，混合系統中的經典範例。在此例中，球（以點狀質量表示）由啟始高度掉到地面彈跳，每一次的彈跳都會耗散能量。球在每一次彈跳之間都是連續的動態特性，當球碰到地面時，因為非弹性碰撞，球的速度會有離散的變化。彈跳球的數學模型如下：令是球的高度，是球的速度，其混合系統如下：

當，「流」的統御方程為
,
其中為因為重力而有的加速度，上述方程指出，若球在地面之上，最終會因為重力而掉到地面。

若，「跳躍」的統御方程為
,
其中為耗散係數。方程式是當高度為零（和地面碰撞）時，其速度符號會相反，且會以的比例減少。這也是非弹性碰撞的特性。

彈跳球系統的特點是有Zeno行為。Zeno行為有嚴格的數學定義，可以大致描述為系統在有限時間內進行了無限次的「跳躍」。在此例中，彈跳球每次碰到地面，就會損失能量，因此之後碰到地面的時間間隔也就會越來越接近。

 混合系統的驗證 
有關混合系統的形式验证，有些方法可以自動證明一些混合系統的特性，驗證混合系統安全性的常用工具包括可到達集的計算、以及。

大部份的驗證工作都是不可判定問題Thomas A. Henzinger, Peter W. Kopke, Anuj Puri, and Pravin Varaiya: What's Decidable about Hybrid Automata, Journal of Computer and System Sciences, 1998，因此沒有辦法找出通用的驗證演算法。不過，這些工具會在指標性問題上展現其分析能力。這些可以驗證所有強健案例的混合系統驗證法Martin Fränzle: Analysis of Hybrid Systems: An ounce of realism can save an infinity of states, Springer LNCS 1683帶來一個可能的理論性結論：混合系統中的許多問題雖然是不可判定的，但至少是準可判定的Stefan Ratschan: Safety verification of non-linear hybrid systems is quasi-decidable, Formal Methods in System Design, volume 44, pp. 71-90, 2014, 。

其他建模方式
基本的混合系統建模方式可以分為兩種：隱式以及顯式。顯式的方式會用、混合程式或是混合Petri网表示。隱式的作法會用統御方程式來表示，因此會得到（DAE）的系統，也有可以透過混合鍵結圖來表示。

若是考慮混合系統分析的統一仿真方法，有一種以形式化為基礎的方法，其中微分方程的積分子會量化為原子性的DEVS模型。該方法以離散事件系統的行為產生系統的軌跡，和離散時間系統不同。在參考資料[Kofman2004]、[CF2006]及[Nutaro2010]中有描述該作法的細節，而軟體工具中也有描述。

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 參考資料 

延伸閱讀




 [Kofman2004] 
 [CF2006] 
 [Nutaro2010] 

外部連結
IEEE CSS Committee on Hybrid Systems

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