卡爾曼分解

卡爾曼分解（Kalman decomposition）是控制理论中的數學工具，可以將线性时不变（LTI）控制系統轉變為可以清楚區分系統可觀測及可控制成份的系統。分解後的系統會有更清楚的結構，更容易可以對系統及可觀測子空間的特性下結論。

 符號 
推導方式在離散時間系統及連續時間系統都是一様的。連續時間線性系統可以表示如下：




其中 
 為狀態向量 
 為輸出向量 
 為輸入（或控制）向量 
 為狀態矩陣
 為輸入矩陣 
 為輸出矩陣
 為前饋矩陣

而離散時間線性系統可以表示如下：




各向量及矩陣的意思如上。因此，系統可以表示為包括四個矩陣的數組。
令系統的階數為。

卡爾曼分解定義為將矩陣數組轉換為矩陣數組，且後者有以下的特性：






為的可逆矩陣，可以定義為



其中
 的各-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-（column）會生成可到達，不可觀察的狀態子空間。
 選擇 ，使得的各-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-（column）是可到達子空間的基底。
 選擇 ，使得的各-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-（column）是不可觀察子空間的基底。
 選擇 ，使得可逆。

依上述的建構方式，矩陣可逆。可以觀察到其中有些矩陣可能會是零維度。例如，若系統有時有可觀察性及可控制性，則，其他的矩陣都是零維。

標準型
利用可控制性及可觀察性的結果，可以證明轉換後的系統有以下形式的矩陣：









因此可得以下結論
 子系統具有可到達性及可觀察性。
 子系統有可到達性。
 子系統有可觀察性。

相關條目
 可觀測性
 可控制性

外部連結
Lectures on Dynamic Systems and Control, Lecture 25 - Mohammed Dahleh, Munther Dahleh, George Verghese — MIT OpenCourseWare

Category:控制理论