庫默爾定理

在數學裡，庫默爾定理能計算给出的二项式的系數的，即含p的幂次。 本定理以恩斯特·庫默爾命名。

 定理 
庫默爾定理指出，給定整数 和一个質數 , p-adic賦值  等於以  為基底時加 的進位次數。

例子
要计算 ，写出  和  的二进制表示  和 。进行二进制加法  需要进位三次。 故  中 2 的次数是 3。

求具有下述性质的所有整数：存在无穷多个正整数，使得不整除 。

解 ∵ ,

∴  是整数，

∴  对任意正整数成立，从而 1 不满足要求.

当时，取（为奇素数，），满足要求.

当时，取的一个素因子，选取正整数使得 ，令 ，我们证明：
 不整除 .

 最多进位次. 由库默尔定理，，

∵ ，∴ 不整除.

从而存在无穷多个满足要求.

综上，是任意不为1的整数.

 證明 

將组合数寫成
根据勒让德定理，它所含的幂次数为

等于在进制表示下，截去末位得到的数，因此

最后对求和，就是在进制下的进位次数。

 多项系数的一般化 
庫默爾定理，可以推广到 多项系数  ：

將  以 為基底寫做 和定义  是  基底的数位和。 則

.

 參見 
 卢卡斯定理

 参考文献 


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