下限拓扑

數學上，下限拓撲是定義在實數集  上的拓撲。其不同於  上的標準拓撲（由開區間生成），且具有若干有趣的性質。其為全體半開區間 [a,b) 組成的基生成的拓撲，其中 a 和 b 取遍任意實數。

這樣得到的拓撲空間稱為Sorgenfrey直線（得名自 ）或箭頭，有時記為 . 與康托集和長直線類似，Sorgenfrey 直線也經常作為點集拓撲學中不少似是而非的命題的反例。

 與自身的積也是有用的反例，稱為Sorgenfrey平面。

類似地，可以定義  上的上限拓撲，其性質與下限拓撲完全相同。

 性質 
 下限拓撲比實數集的標準拓撲更精細（具有更多開集）。原因是每個開區間都可寫成半開區間的可數並，故在下限拓撲中也是開集。
 對任意實數  和 , 區間  都是  的闭开集（既是开集，也是闭集）。而且，對任意實數 , 集合  和  皆為閉開集。故  為完全不连通空间。
  的緊子集只能是可數集（允許是有限集）。要證明此結論，考慮非空緊集 .  取定 , 考慮  的開覆蓋：

由於  為緊，此開覆蓋具有有限子覆蓋，故存在實數  使得區間  不含  除  以外的點。這對任意  為真。現選取有理數 . 對不同的 , 區間  兩兩不交，故函數  為單射，故  至多可數。
 「下限拓撲」得名自以下性質： 中的序列（或網） 收斂到  当且仅当其「從右接近 」，即對任意的  ，均存在下標  使得 .  因此可用於研究單側極限：對函數 ,  於  之右極限（假定陪域具有標準拓撲），等於定義域在下限拓撲下  於  之一般極限。
 就分离公理而言，  是完美正规豪斯多夫空間（T6 空間）。
 就可數性公理而言，  是第一可數空間和可分空间，但並非第二可數空間。
 就緊緻性而言， 是林德勒夫空間和仿紧空间，但並非，也不是局部紧空間。
  不可度量化，因為可分的度量空間必為第二可數。然而， 的拓撲是由一個預度量給出。
  是一個贝尔空间 。

參考資料

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