第一价格密封拍卖

第一价格密封拍卖（）是拍卖的一个常见类型，属于盲拍（）的一种。所有竞拍者同时提交密封的出价，没有人知道其他人的出价。出价最高者将以他们出的价格获得拍卖品。

 策略分析 
在FPSBA中，每个出价者对拍卖品的估价是影响其出价的重要因素。

假设Alice是一位竞拍者，她的估价是a。那么，如果Alice是理性的，就有以下结论：
 Alice不可能出大于a的价格，这样只会让她的净收益变为负数。
 如果Alice的出价恰好为a，那么她的净收益必定为零。
 如果Alice的出价小于a，她可能会获得正的净收益，但这取决于其他人是否出比她更高的价格。

Alice想要出一个能让她赢得拍卖品的最小价格，并且这个价格小于a。例如，如果有另一个竞拍者Bob，他的出价满足，那么Alice就会出价（其中是她最低可以加的价格，例如1分钱）。

然而，Alice无从知晓其他竞拍者出的价，她更不知道其他人的估价如何。所以，这是一个贝叶斯博弈——每个参与者无法完全得知其他参与者的收益函数。

即使只有两位参与者，要求得这类博弈的纳什均衡也不容易。一个简化的情形是，所有参与者的估价是独立同分布的，即所有参与者的估价都满足同一个概率分布。

 举例 
设两个竞拍者Alice和Bob的估价分别是a和b，且这两个值满足[0,1]上的连续型均匀分布。那么，这个贝叶斯博弈的纳什均衡为每个竞拍者都选择自己估价的一半：Alice出价，Bob出价。

证明：以下从Alice的角度讨论。假定她已知Bob的出价是，但她不知道等于多少，我们来求Alice的最佳策略。假设Alice出价，那么有两种情况：
 ，此时Alice赢得拍卖品，净收益是。这种情况发生的概率是。
 ，此时Alice未赢得拍卖品，净收益为0。这种情况发生的概率是。
因此，Alice的预期收益是。当时预期收益取到最大值，其中为：

当Alice的出价满足以下条件时导数为零：

现在，因为纳什均衡显然是对称的，Alice的出价也等于。于是有：

解得。

 一般情形 
考虑所有的FPSBA。记：
 为第位竞拍者的估价；
 为除第位竞拍者以外的最大估价，即。
FPSBA有一个对称纳什均衡，即第位竞拍者出价：

 与第二价格密封拍卖的比较 
下表列出了FPSBA和第二价格密封拍卖（SPSBA）的共同点和不同点：

 拍卖种类  第一价格  第二价格 胜出方  出价最高者  出价最高者 胜出方支出  出价最高的价格  出价第二高的价格 未胜出方支出  0  0 支配性策略  无  估价多少，出价多少 贝叶斯纳什均衡假定有位参与者，他们的估价均为[0,1]之间的独立均匀随机分布 第位参与者出价  第位出价 拍卖商的收入    

拍卖商的收入是用上述样例计算的，其中每个参与者的估价独立均匀地随机分布在[0,1]中。不妨设：
 在第一价格密封拍卖中，拍卖商获得两人出价中较大者，即。
 在第二价格密封拍卖中，拍卖商获得两人估价中较小者，即。
以上两种情况中，拍卖商的预期收入都是1/3。

两种拍卖的预期收入相同并不是一个巧合，而是因为它们是的特例，在每个参与者估价都独立的情况下这条规则成立。如果估价不独立，则变为，此时拍卖商在第二价格密封拍卖中的收入大于第一价格密封拍卖。

 参考文献 

 外部链接 
 Nash equilibrium in first price auction - in math.stackexchange.com.

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