二次型 (统计)

在多元变量统计中，如果  为  维随机向量，  是一个  维对称矩阵，则随机变量  称为  的二次型。

 期望 
二次型的期望可表示为，

其中， 和  分别表示  的期望值 和方差-协方差矩阵， tr 为矩阵的迹。其结果仅仅取决于是否存在  和 ；并且， 的正态性不是必要条件。

关于随机变量的二次型参考书籍 

 证明 
由于二次型是标量，所以二次型的迹就是它本身。

由于矩阵的迹是其对角线元素之和（即矩阵元素线性组合的结果），因此服从期望的线性，有



利用迹的可交换性，

由期望的线性可得



由方差的标准属性可知：



再次应用迹的可交换性可得：



 方差 
通常情况下，二次型的方差在很大程度上取决于  的分布。 然而，如果  服从多元正态分布，则二次型的方差的求解非常容易。假设  是一个对称矩阵，则有，

 .

事实上，这可以推广到同一向量  的两个二次型的协方差计算中 (注意,  和  必须都是对称矩阵):

。 

 不对称矩阵的方差计算 
在某些参考资料中，在  为非对称矩阵情况下，也错误地得到了上述方差/协方差的结果。
在一般情况下， 可以通过下面方式得到：

因此

但是，这是一个二次型的对称矩阵 ，所以其均值和方差表达式相同，只是将  替换为 。

 二次型举例 
设有观测值的集合  和运算矩阵 ，则  的残差平方和可表示为其二次型：

其中，矩阵  为对称和等幂的，其误差为协方差矩阵为  的高斯分布,  为自由度是  的卡方分布，参数为 ，有

如果  在估计  时没有偏差，则参数  为零且  服从中心卡方分布。

 参考文献 

 参看 

 二次型
 协方差矩阵

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