序列紧

在數學上, 若一個拓撲空間裏，每個無窮序列都有收斂子序列，則稱該拓撲空間序列緊（）。
雖然對於度量空間，緊等價於序列緊，但是對於一般的拓撲空間來說，緊（）和序列緊是兩個不等價的性質。

 例子和性質 

實數軸上的標準拓撲不是序列緊的，例如  便是一個沒有收斂子序列的序列。但由波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理可知所有上的閉區間導出的子空間拓撲都是序列緊的。

對於度量空間，序列緊與緊等價。Willard, 17G, p. 125. 然而，一般情況下，存在序列緊而非緊的拓撲空間，比如具有序拓撲的首個不可數序數，也存在緊而非序列緊的拓撲空間，比如由  多個單位閉區間組成的積空間。Steen and Seebach, Example 105, pp. 125—126.

 有關概念 
若拓撲空間 X 的任意無窮子集都有一個極限點在 X 中，則稱 X 為聚點緊的。
若拓撲空間 X 的任意可數開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱 X 為可數緊的。

對於度量空間，序列緊、聚點緊、可數緊、緊都是互相等價的性質。Munkres, p. 179-180. 

對於序列空間，序列緊與可數緊等價。Engelking, General Topology, Theorem 3.10.31 K.P. Hart, Jun-iti Nagata, J.E. Vaughan (editors), Encyclopedia of General Topology, Chapter d3 (by P. Simon)

單點緊化的構想是，在拓撲空間中加入一點，然後要求所有無收斂子序列的序列都收斂到該額外的點。
Brown, Ronald, "Sequentially proper maps and a sequential
compactification", J.  London Math Soc. (2) 7 (1973)
515-522.例如實數軸的單點緊化，它令所有在標準拓撲不收斂的序列收斂至額外的點，該點又稱為無窮遠點。

 相關條目 

波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理

參考來源

參考書目


 Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). .

Category:点集拓扑学
Category:拓扑空间性质