交叉熵

在信息论中，基于相同事件测度的两个概率分布和的交叉熵（）是指，当基于一个“非自然”（相对于“真实”分布而言）的概率分布进行编码时，在事件集合中唯一标识一个事件所需要的平均比特数（bit）。

给定两个概率分布和，相对于的交叉熵定义为：

其中是的熵，是从与的KL散度(也被称为p相对于q的相对熵)。

对于离散分布和，这意味着：

对于连续分布也是类似的。我们假设和在测度 上是绝对连续的(通常 是Lebesgue measure on a Borel σ-algebra)。设和分别为和在测度 上概率密度函数。则

 源起 
在信息论中, 以直接可解编码模式通过值编码一个信息片段，使其能在所有可能的集合中唯一标识该信息片段，Kraft–McMillan theorem确保这一过程可以被看作一种上的隐式概率分布，从而使得是的编码位长度。 因此, 交叉熵可以看作每个信息片段在错误分布下的期望编码位长度，而信息实际分布为。这就是期望是基于而不是的原因。

 估计 
在大多数情况下，我们需要在不知道分布的情况下计算其交叉熵。例如在语言模型中, 我们基于训练集创建了一个语言模型, 而在测试集合上通过其交叉熵来评估该模型的准确率。是语料中词汇的真实分布，而是我们获得的语言模型预测的词汇分布。由于真实分布是未知的，我们不能直接计算交叉熵。在这种情况下，我们可以通过下式来估计交叉熵:

是测试集大小，是在训练集上估计的事件发生的概率。我们假设训练集是从的真实采样，则此方法获得的是真实交叉熵的蒙特卡洛估计。

 參考資料 


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