Noiselet

Noiselet是一種具有類似雜訊性質的函數。在數學結構上，它們與Haar 小波 (Haar Wavelet) 基底之間存在一種特殊的對偶關係，既兩者是完全不相干(Perfectly Incoherent)的。

這意味著，Noiselet 函數在Harr 小波包分析（Wavelet Packet Analysis）中會表現出「最差情況」——換言之，Noiselet 在 Haar 小波域中是完全不可壓縮的，其能量會最大限度地分散。這種關係可以類比於「傅立葉級數基底」與「時域訊號」或是「標準基底」之間的關係：正如在時域上極為集中的脈衝訊號，在頻域(傅立葉域)上是均勻分布的一樣；如果一個信號在小波域具有緊緻支集(Compact Support）或稀疏性(Sparsity)，那麼該信號在 Noiselet 域中就能被完全展開(Expanded)R. Coifman, F. Geshwind, and Y. Meyer, Noiselets, Applied and Computational Harmonic Analysis, 10 (2001), pp. 27–44. 。

憑藉這種與 Haar 基底的完全不相干性，加上 Noiselet 本身具有能夠高效實作的快速演算法，使其成為壓縮感知(Compressed Sensing)應用中極為理想的工具，特別適合作為那些在 Haar 域中呈現稀疏特性的信號之採樣基底（Sampling Basis)。

 定義 
Noiselet的基底函數定義如下：Noiselet函數族 (The family of noiselets) 是透過以下方式遞迴地 (Recursively) 建構而成：其中 i 為虛數單位。

 的性質 
集合構成空間的一組正交基底 (Orthogonal basis)。

 這裡的指的是在解析度下，對空間中函數的所有可能逼近空間 (Space of approximations)。

對於所有的，滿足以下積分性質：對於所有的，函數也可以表示為以下乘積形式：

 Noiselet 的矩陣建構 
Noiselet 可以被擴展並離散化。擴展函數 (extended function)定義如下：利用擴展的 Noiselet ，我們可以生成  的 Noiselet 矩陣 ，其中 n 為 2 的冪次：
在此，表示克羅內克積 (Kronecker product)。

假設，我們可以發現矩陣元素等於。

Noiselet 矩陣的元素取值是離散的，並來自於兩個四元素集合之一（取決於 q 的奇偶性）：               當q為偶數

               當q為奇數

 二維 Noiselet 變換 (2D noiselet transform) 
二維 Noiselet 變換是透過一維 Noiselet 變換的克羅內克積獲得的：

 應用 
由於 Noiselet 與小波之間的互補性（Complementarity），Noiselet 可被應用於壓縮感知 (Compressed Sensing) 中，用來重建在小波域中具有緊緻表示（Compact representation）的信號（例如圖像）E. Candes and J. Romberg, Sparsity and incoherence in compressive sampling, 23 (2007), pp. 969-985. 。具體而言，可以在 Noiselet 域中獲取MRI數據，隨後利用壓縮感知重建演算法，從欠採樣（Undersampled）的數據中還原出清晰的圖像K. Pawar, G. Egan, and Z. Zhang, Multichannel Compressive Sensing MRI Using Noiselet Encoding, 05 (2015),  。

以下是 Noiselet 已被實際實作的一些應用案例：

 磁振造影 (Magnetic Resonance Imaging, MRI): 
Noiselet 編碼是一種應用於磁振造影（MRI）的技術，旨在減少圖像採集所需的時間。在傳統的 MRI 中，成像過程通常涉及使用梯度場對空間資訊進行編碼。傳統的採集方式依賴於笛卡爾編碼 (Cartesian encoding)，即在笛卡爾網格上對空間資訊進行逐行採樣。然而，這種方法非常耗時，特別是在需要高解析度或動態成像的情況下。作為壓縮感知技術的一部分，利用了圖像本身的稀疏性（Sparsity）來實現更高效的數據獲取。在壓縮感知中，其核心理念是：如果潛在的信號或圖像在某個變換域中是稀疏的，則可以採集遠少於奈奎斯特-香農採樣定理 (Nyquist-Shannon sampling theorem) 所要求的樣本數。在 MRI 中的應用概述如下：使用 Noiselet 變換矩陣對信號進行編碼，產生的係數能有效地將信號能量分散到整個尺度和時間域中。因此，這些變換係數的每一個子集（Subset）都捕捉到了原始信號的整體特徵資訊。當僅使用部分係數（其餘補零）進行獨立重建時，每一個子集都能以較低的解析度還原出原始信號。由於 Noiselet 編碼並非依序採樣所有的空間頻率分量，這種欠採樣策略允許使用更少的測量次數來重建圖像，從而在不顯著犧牲圖像品質的前提下，實現更高效的成像。

 單像素成像 (Single-pixel Imaging): 
單像素成像是利用單個偵測器（而非百萬像素的感光元件陣列）來測量光強度的技術。樣本會被一系列圖樣照明，透過測量反射或透射的總光強來獲取資訊。Noiselet 被應用於此領域以提高計算效率，其原理同樣基於壓縮感知。

Noiselet 帶來的主要優勢包括：

 減少測量次數：計算所需的測量次數顯著減少。
 數據壓縮：圖像的壓縮表示減少了傳輸時間與儲存需求。
 快速成像：整體的採集時間顯著縮短，使得單像素成像適用於需要快速反應的應用場景。

這些特性使獨Noiselet 在單像素成像中有以下應用：將 Noiselet 變換矩陣應用於結構光照明 (Structured illumination) 圖樣中，這會將物體的空間資訊擴散到測量空間中。這些結構化圖樣導致信號資訊的稀疏表示。這允許從一組縮減的測量數據中重建圖像，同時仍能封裝重建高品質圖像所需的核心資訊

 數位影像加密: 
如同將照片化為無形的數位雜訊Noiselet 變換在資訊安全領域展現了獨特的價值，特別是在影像加密上，它扮演著一種極高效率的「數學碎紙機」角色。不同於傳統加密僅僅是移動像素的位置，Noiselet 利用其全域性的能量擴散特性，能將原本清晰的照片瞬間轉換成看似隨機、毫無意義的白雜訊畫面。這種過程在數學上被稱為「雪崩效應（Avalanche Effect）」，意即原始影像中哪怕只有一個像素的微小變動，都會導致加密後的結果產生翻天覆地的變化。這意味著攻擊者若試圖透過統計分析來破解圖像（例如分析色彩分布）將會徒勞無功，因為原始的視覺特徵已被 Noiselet 函數徹底打散並隱藏在複數域的隨機性之中，唯有持有正確密鑰的人才能將這些雜訊重新聚攏回原本的影像。

 強健數位浮水印: 
全息圖般的版權保護在版權保護方面，Noiselet 提供了一種近乎「全息圖（Holographic）」式的解決方案。當我們利用 Noiselet 技術將浮水印（如版權標誌）植入圖片時，這並不是像蓋章一樣蓋在圖片的某個角落，而是將浮水印的能量均勻地「溶解」在整張圖片的每一個像素裡。這種特性使得浮水印對肉眼完全不可見，不會影響圖片的美觀；更重要的是，它賦予了浮水印極強的強健性（Robustness）。即便這張圖片遭到惡意裁切、遮擋或遺失了一半的數據，由於浮水印的資訊散布在全域，版權持有者依然能從剩餘的殘片中，透過逆變換提取出完整的浮水印資訊。這正是利用了 Noiselet 與小波變換之間的互補不相干性，讓版權資訊能在最惡劣的環境下生存。

 雷達與聲納波形設計: 
藏木於林的匿蹤訊號雖然 Noiselet 最初是為了解析影像而生，但其數學構造卻意外地適合用於設計「低截獲率（LPI）」的雷達或聲納波形。在戰場或複雜的偵測環境中，發出的探測波如果太有規律，很容易被敵方鎖定或干擾。Noiselet 產生的波形具有平坦的頻譜，在頻域上看起來就像是毫無規律的背景雜訊。使用這種波形進行探測，就像是在吵雜的派對中用只有自己人懂的「密碼語」輕聲交談；對於敵方的偵測設備而言，這只是無意義的環境噪音，但對於發送者來說，透過其優異的正交特性，卻能精準地從回波中解析出目標的距離與速度。這種「藏木於林」的特性，使得 Noiselet 成為現代隱形偵測技術中極具潛力的波形選擇。

 參見 
壓縮感
基底
不相干/互相干
小波包分解
傅立葉級數
時域
緊緻支集
稀疏性
採樣

 參考文獻 

Category:信号处理