克里斯托菲德斯算法

克里斯托菲德斯算法（）是旅行商问题在度量空间（即距离对称且满足三角不等式）上的一个近似算法。. 该算法可以保证相对最优哈密尔顿回路长度有3/2的近似比。于1976年首次发表了这个算法，故以他的名字命名之。Nicos Christofides, Worst-case analysis of a new heuristic for the travelling salesman problem, Report 388, Graduate School of Industrial Administration, CMU, 1976. ，这一算法仍然是一般性旅行商问题的算法中近似比最好的结果。

 算法 
令 G = (V,w) 是旅行商问题的一个实例。 即， G 是一顶点集V 上的一个完全图，函数 w 给 G 的每条边指定了一个非负实边权。
依三角不等式，对每三个顶点 u, v 和 x 都有关系 w(uv) + w(vx) ≥ w(ux).

算法可以被描述为如下伪代码。
 构造图上的最小的生成树 T
 令 O 为原图顶点集中在 T 上度数为奇数的顶点集。根据握手定理，O 中有偶数个顶点
 构造点集O在原完全图上的最小完美匹配M
 将 M 和 T 的边集取并，构造重图 H ，满足其每个顶点都是偶数度的
 H 可以形成一个欧拉回路
 将前一步得到的图改造为一个哈密尔顿回路：只需要跳过前一步欧拉回路中重复的顶点即可（这个步骤又称作选取近道，"short-cutting"）。

 近似比 
算法所生成的解相对最优解有3/2的近似比。下给出简要证明。

令 C 为图上的最优旅行商回路。注意到，删除 C 上的一条边将产生原图上的一棵生成树，其总权重至少为最小生成树的总权重，亦即 w(T) ≤ w(C)。接下来，给O中的顶点编号，编号顺序依据回路C 上的顶点顺序。再将 C 做划分，得到两个边集：其一包含所有起始点为奇数编号的边，另一个则包含所有起始点为偶数编号的边。这两个边集各对应于 O 上的一个完美匹配，且匹配的总边权不超过边集的总边权。

因为两个边集是 C 的划分，二者中的某一个至多有 C 总边权的一半，因而其对应匹配的总边权不超过 C 总边权的一半。因为没有比最小完美匹配更小的匹配，所以 w(M) ≤ w(C)/2。 T 和 M 的权重总和也就是欧拉回路的权重总和，也就是至多 3w(C)/2。由于做选取近道操作并不增加权重，所有最终输出的总边权也不超过 3w(C)/2.

 下界 
存在使得克里斯托菲德斯算法近似比任意接近3/2的输入。

一类满足条件的输入由 n 个顶点组成，满足最优环路上边的权重都为 1，且在最优环路上相隔一条边的边都有权重 1 + ε，其中 ε 是一个足够小的正数。未由上述定义给出的权重由两点间的最短路径给出。

最小生成树可以从最优环路中构造，总长 n − 1。唯二的奇数度点是这棵树（此时也是条路径）的两个端点，其完美匹配仅由一条权重近似为 n/2 的单边构成。
生成树和这条单边的并集是一个回路，没有可能的近道 (short-cutting)，且其总边权近似为 3n/2。 而问题的最优解是使用所有权重为1或 1 + ε 的边构造的环路，其总权重为 n + (n − 2)ε，对充分小的 ε 可以无限靠近于 n。.

 例 
200x200像素 已知：一个边权满足三角不等式的完全图200x200像素  计算最小生成树T200x200像素  计算最小生成树中奇数度的顶点集O200x200像素 用 O 中的点构造原完全图上的一个完全子图200x200像素  构造这个子图上的最小完美匹配M200x200像素  将生成树和匹配取并 T ∪ M 形成一个欧拉重图218x218像素  计算欧拉回路215x215像素  删除重复顶点，选取近道 (short-cutting)，给出算法的输出

 参考文献 

 外部链接 
 NIST 克里斯托菲德斯算法定义 

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