西爾維斯特方程

西爾維斯特方程（）是控制理论中的矩阵方程，形式如下不過也常寫成等效的AX-XB=C.：

其中、及是已知矩阵，n与m可以相等。方程中所有矩陣的係數都是复数。西爾維斯特方程有唯一解X的充要條件是A与-B沒有共同的特徵值。

AX+XB=C也可以視為是（可能無窮維中）巴拿赫空间中有界算子的方程。此情形下，唯一解X的充份必要條件幾乎相同：唯一解X的充份必要條件是A和-B的谱不互交Bhatia and Rosenthal, 1997。
解的存在及唯一
利用克罗内克积以及，可以改寫西爾維斯特方程為

其中為單位矩陣。在此形式下，可以將問題改為維的線性系統不過若是要算其數值解，不建議寫成此形式，因為求解的計算量很高，而且可能會是病態方程。

命题

假定複數的矩陣和，西爾維斯特方程針對任意有唯一解，若且唯
若和沒有共同的特徵值。

證明

考慮線性轉換，.

(i)假設和沒有共同的特徵值，則其特徵方程式  和的最大公因式為，因此存在複數多項式和，使得。依照Cayley–Hamilton定理，；因此。令為的解，則，重複上述作法，可得。因此依照秩－零化度定理，是可逆的，因此針對所有的都存在唯一的解。

(ii) 相對的，若假設是和的共同特徵值，則也是的特徵值。存在非零向量 和使得以及。選擇使得，則沒有解，考虑 ，等號的右邊為正值；而左側因為伴随变换的性质為零,即 。

Roth消去法則

假設二個大小分別為n和m的方陣A和B，以及大小為n乘m的矩陣C，則可以確認以下二個大小為n+m的方陣和是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C，換句話說，X為西爾維斯特方程的解，這稱為Roth消去法則（Roth's removal rule）。

可以用以下方式檢查，若AX-XB=C，則 

Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界算子中Bhatia and Rosenthal, p.3。

數值解
西爾維斯特方程數值解的經典演算法是Bartels–Stewart演算法，利用將矩陣和矩陣轉換為舒尔形式，再用逆向取代法求解三角矩阵。此演算法若用LAPACK計算，或是GNU Octave的lyap函數計算，計算複雜度是個數學運算。也可以參考其中的sylvester函數The syl command is deprecated since GNU Octave Version 4.0。在一些特定的影像處理應用中，西爾維斯特方程會有解析解。

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腳註

參考資料






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