巴苏定理

在统计学中，巴苏定理（Basu's Theorem）指出任何有界完全的充分统计量与任何辅助统计量独立。 这是Debabrata Basu于1955年发现的结论。

 定理陈述 
设是可测空间上的一族分布。如果是的充分且有界完全的统计量，是关于的辅助统计量，那么独立于。

 证明 
对任意博雷尔集，构造函数。注意到记号是合理的，因为这一函数不取决于。第一项不取决于是因为的充分性，第二项不取决于是因为是关于的辅助统计量。注意到有界并且期望为0。因此，的有界完全性保证了几乎处处为0。由于可以是任意博雷尔集，定理得证。

 例子 

 正态分布（方差已知）的样本期望值独立于样本方差 
让 X1, X2,..., Xn 是独立同分布的正态分布随机变量，其中方差已知，均值未知。

关于参数，可以证明样本均值

是充分完全统计量，并且样本方差

是辅助统计量，即其分布并不依赖于。

因此，巴苏定理指出二者独立。

尽管上述证明是借助方差已知均值未知的正态分布模型完成的，这一结论并不只在该情况下成立。实际上，无论方差或均值已知与否，正态分布的样本均值和样本方差都是独立的。更进一步，正态分布是唯一具有这一性质的分布。

 参考文献 

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