完全性 (统计学)

在统计学中， 完全性，又称-{zh-cn:完备性;zh-tw:完全性}-是统计量的一个性质。 从本质上讲，它确保不同的参数值对应的分布是不同的。一个具有完全性的统计量称为完全统计量。

定义 
考虑一个随机变量  ，其概率分布  以  为参数。称一个统计量  是完全的，若对任意可测函数 ，Young, G. A. and Smith, R. L. (2005). Essentials of Statistical Inference. (p. 94). Cambridge University  Press.
 如果对所有  都有 ，则  对所有  都成立。
若对上述函数  加上有界的条件，则称该统计量为有界完全的。

 例子 
若是来自参数为的伯努利分布的独立随机样本，其中。统计量是的完全统计量。注意到服从参数为和的二项分布。若有某个，使得对都成立，则

令，则多项式在上恒为0。可知其每一项系数都为0，进而得到。由定义，是的完全统计量。

完全性的重要性 

巴苏定理 

有界完全性出现在巴苏定理中，Casella, G. and Berger, R. L. (2001). Statistical Inference. (pp. 287). Duxbury Press. 它指出任何有界完全且充分的统计量与任何辅助统计量独立。

Bahadur定理 
有界完全性也出现在Bahadur定理中。 定理指出，当至少存在一个最小充分统计量时，如果一个统计量是充分的并且有界完全的，则它是一个最小充分统计量。

 注释 

 参考文献 





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