对合矩阵

在数学上， 对合矩阵是指逆为自身的矩阵，即，称矩阵是一个对合矩阵当且仅当。对合矩阵是单位矩阵的方根。 .

 例 
如果，则2×2实矩阵   是对合矩阵。Peter Lancaster & Miron Tismenetsky (1985) The Theory of Matrices, 2nd edition, pp 12,13 Academic Press 

三类基本矩阵中有一种是对合矩阵，即行交换的基本矩阵。 在特殊情况下，另一类的基本矩阵，即表示对行或列乘以 −1 的矩阵也是对合矩阵；实际上这是符号矩阵的一个特例——所有符号矩阵均是对合的。

下面是一些对合矩阵的简单例子。

这里
  是单位矩阵 (显然对合);
  是交换过一对行的单位矩阵；
  是符号矩阵。
显然，任何由对称矩阵构成的块-对角阵 构成的矩阵也是对合矩阵。

 对称性 
一个对称的对合矩阵也是一个正交矩阵，并因此表示一个保距变换 (保持欧几里德距离的线性变换)。反之，每个正交对合矩阵均是对称的。; ; 
. 一个特别的例子是，每个反射矩阵均是对合的。

 性质 
任何域上对合矩阵的行列式是±1..

如果  是一个 n × n 矩阵，则A是对合的当且仅当½(A + I)是 幂等的。 这一关系给出了对合矩阵和幂等矩阵之间的双射。

如果  是（实数域上的矩阵代数）上的矩阵，则由  产生的子代数 {x I + y A': x、y'' ∈ℝ} 与双曲复数同构。

如果 和  两个对合矩阵可交换，则  也是对合的。

如果  是对合矩阵则 A 的任意自然数次幂均是对合的。 事实上，  在  是奇数时等于 ，在  是偶数时等于 。

 另见 
 仿射对合

 参考文献 

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