指數映射 (黎曼幾何)

黎曼几何中，指數映射（）是由某（偽）黎曼流形切空间的子集，到本身的映射。（伪）黎曼度量對應某個典範仿射聯絡，而（伪）黎曼流形的指数映射就是这个聯絡的指数映射。直觀理解，由起點出發，以揀選切向量為速度，沿流形上的「直線」行單位時間，到達的終點就是。

 定義 
設為微分流形，為上一點。利用上的仿射联络，可以定義過點的測地線。本節可參考，其稱仿射聯絡為「線性聯絡」。

設為於點的切向量，則獨有一條测地线滿足，而初始切向量為。對應的指數映射由

定義。一般而言，指數映射不必在全個有定義，而衹有局部定義，即定義域是原點的小鄰域，映到在流形上的某鄰域內。原因是，測地線之所以存在（和唯一），藉賴常微分方程解的柯西-利普希茨定理，但該定理是僅在局部成立。若指數映射在切丛處處有定義，則該線性聯絡稱為完備。

 參考資料 

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