互易定理

在电磁学中，互易定理是电磁场理论的重要定理。由洛伦兹首先发现了一个定义在闭合曲面上的电磁场公式。后来Rayleigh-Carson又进一步把定理发展称为我们今天看到的形式，定义在一个体积分上。

互易定理的陈述
洛伦兹的贡献
假定有电磁场 和电磁场 都是由曲面内的电流元产生的辐射场。这里假定计算是在频域或者傅里叶变换域。我们在电磁场公式中省写了。

洛伦兹发现如下形式的互易定理

注意：上面强调两个电磁场都是辐射场，其实是说这两个场都必须是滞后波。如果其中一个是超前波，一个是滞后波上述曲面积分不为零。

Rayleigh-Carson的贡献
假设的电流元为： 
假设的电流元为： 

Rayleigh-Carson的贡献为Rayleigh, Lord (1900). On the law of reciprocity in diffuse reflection, Phil. Mag. series 5, 49: 324-325.
，

 电路中的互易定理 

上面公式反映在电路理论中就为，

其中
 是电流 在电流 处产生的电动势。
测量 时可将电流元处电路开路。
 是电流 在电流 处产生的电动势。
测量 时可将电流元处电路开路。

互易定理的一般形式
今天我们把如下一般形式的互易定量称为洛伦兹互易定理，

在上述一般形式互易定理中考虑洛伦兹的贡献即可得到Rayleigh-Carson的贡献的贡献。互易定理的一般形式也常常被称为洛伦兹互易定理。

 互易定理的推导 
由麦克斯韦方程可直接推导互易定理。但是因为这样的推导比较繁琐，也不能体现电磁场定理之间的关系。此处用另一种思路来推导互易定理。
从麦克斯韦方程出发可以推导坡印廷定理,坡印廷定理可以推导互能定理。麦克斯韦方程可以推导共轭变化，互能定理同共轭变换可以推导洛伦兹互易定理。

电磁场共轭变换
电磁场共轭变换

在时域定义如下
（）：

在频域定义如下，

其中

为磁流密度。
共轭变换不是像傅里叶变换那样的数学变换,一个公式经过数学变换它的物理性质没有变化。共轭变换是一个物理变换。一个电磁场在共轭变换前满足麦克斯韦方程，则变换后仍满足麦克斯韦方程。共轭变换把滞后波变成超前波，把超前波变成滞后波。一个电磁场的定理经过共轭变换以后仍然是一个电磁场的定理，但是其物理性质会发生变化，因此会成为一个新的物理定理。

互易定理同互能定理的关系
对互能定理两个电磁场之一，比如  作共轭变换可得洛伦兹互易定理。
反之，
对洛伦兹互易定理两个电磁场之一，比如  作共轭变换可得互能定理。尽管两个定理有上述紧密的联系，它们是两个完全独立的定理。洛伦兹互易定理用于处理两个电流源它们都产生滞后波的情况。互能定理用于一个源产生滞后波，另一个源产生超前波。

由此我们完成了麦克斯韦方程 到 坡印廷定理 到 互能定理 到 洛伦兹互易定理的证明。

 参见 
 经典电磁学

 参考文献 
引用

來源
 H. A. Lorentz, "The theorem of Poynting concerning the energy in the electromagnetic field and two general propositions concerning the propagation of light," Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 p. 176 (1896).
 J. R. Carson, "A generalization of reciprocal theorem," Bell System Technical Journal 3 (3), 393-399 (1924).  Also J. R. Carson, "The reciprocal energy theorem," ibid. 9 (4), 325-331 (1930).

外部链接

Category:电磁学
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