三尖瓣线

三尖瓣线（tricuspoid）也稱為施泰纳曲線（Steiner curve），是有三個尖點的圆内螺线，是一個圓繞著直徑為其三倍的圓內側無滑動滾動時，圓上一點產生的一般旋轮线

三尖瓣线也可以指有三個頂點，之間用向內彎曲的曲線相連的封閉空間，因此三尖瓣线內的空間是非凸集合。

方程式
三尖瓣线可以用以下的參數方程表示：

其中是小圓的半徑，是大圓（也就是小圓在其內側無滑動滾動）的半徑（此處）。

在複變座標下可得
.

上述的t可以消去，得到以下的笛卡爾座標下的方程

因此三尖瓣线是四階的代數曲線，在極坐標下為

曲線有三個奇點，是對應的尖點。上述的參數式意味者曲線為有理曲線，也就表示其為零。

三尖瓣线的為

在原點有一個二重點，若進行一個虛軸上的旋轉，曲線會變為下式，就可以看到其二重點

在實平面的原點上有二重點。
面積及周長

三尖瓣线的面積為，其中為小圓的半徑，其面積是小圓面積的兩倍Weisstein, Eric W. "Deltoid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html 。

其周長為。

歷史
早在1599年時，伽利略·伽利莱及马兰·梅森就已開始研究常見的摆线，而奧勒·羅默在1674年研究齒輪的最佳外形時，也有用到摆线。李昂哈德·歐拉認為他是最早（1745年）將三尖瓣线應用在實際光學問題的人。

 應用 
三尖瓣线有應用在許多的數學領域中，舉例如下：

 三維矩陣複數特徵值的集合即為三尖瓣线。

 SU(3)群裡所有酉矩阵的可能跡的集合會組成三尖瓣线。
 二個三尖瓣线的交集會形成一群6階的。
 三角形的所有西姆松線的集合，其包絡線會是三尖瓣线。因為雅各布·施泰纳在1856年描述過此曲線的形狀及對稱性，因此此曲線稱為這稱為施泰纳三尖瓣线，Lockwood。
 三角形面積平分線的包絡線會是三尖瓣线，三個頂點是中線的中點。三尖瓣线的三邊是双曲线的弧Dunn, J. A., and Pretty, J. A., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108.。
 三尖瓣线屬於中的掛谷針集合（Kakeya needle set，長度為1的針可以在其中旋轉360度），有科學家認為三尖瓣线是掛谷針問題（Kakeya needle problem，面積最小小的掛谷針集合）的解，後來發現不是。

相關條目
星形线：有三個尖點的圆内螺线

勒洛三角形
超橢圓

参考资料




 "Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves Index
 "Deltoid" at MathCurve

Category:曲線
Category:代數曲線